1. Линейность преобразования Лапласа. Если f (t), g (t) - функции-оригиналы, имеющие изображения F (p), G (p), то их линейная комбинация α f (t) + β g (t) (α = cost, β = const)- тоже функция-оригинал, и α f (t) + β g (t) 
α F (p) + β G (p).
Это свойство непосредственно следует из свойства линейности несобственного определённого интеграла. С его помощью можно более просто вывести изображения функций sin t, cos t, исходя из изображения 
: 
; 
. Далее, 
; 
.
2. Теорема подобия. Если f (t) - функция-оригинал и f (t) F (p), то для любого λ > 0 
.
Док-во. 
.
Иллюстрации применения этого свойства: если 
, то 
; если 
, то 
и т.д.
3. Теорема смещения. Если f (t) F (p), то e α t f (t) F (p − α),. Здесь α - произвольное комплексное число.
Док-во. 
.
Иллюстрации применения этого свойства: если 
, то 
; если 
, то 
и т.д.
4. Теорема запаздывания. Если f (t) F (p) (т.е. f (t) · η (t) F (p)), то f (t − t 0) · η (t − t 0) e − t 0 · p · F (p) для любого числа t 0 ≥ 0.
Док-во. 
.
Теорема запаздывания применяется для изображения функций импульсных, составных, периодических. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Импульсные функции.
а) Единичный импульс: 
С помощью функции Хевисайда эта функция записывается так: 
. Мы знаем, что ; по теореме запаздывания (t 0 = 1) 
, поэтому 
.
б) Запаздывающий прямоугольный импульс: 
Здесь 
.
в) Треугольный импульс. Аналитически эта функция записывается так: 
Изменение функции на переходе от участка T ≤ t ≤ T + τ к участку T + τ ≤ t ≤ T + 2τ равно 
; при переходе к участку t > 2τ изменение функции равно 
, поэтому можно переписать 
, и, так как 
, 
, то 
.
г) Синусоидальный импульс. 
Здесь 
, поэтому 
.
Составные функции. Пусть f (t) задаётся разными выражениями на различных участках области определения:
. С помощью функции Хевисайда f (t) записывается так: 
, и теорема запаздывания позволяет получить изображение этой функции.
Периодические функции. Пусть f (t)- периодическая при t > 0 функция с основным периодом, равным T. Обозначим f 1(t) функцию, описывающую первый период функции f (t):
. Теперь 
(каждое слагаемое описывает соответствующий период). Пусть 
- изображение функции f 1(t). Тогда 
.
Найдём в качестве примера изображение функции { t } - дробной части числа t. Эта функция определяется так: { t } = t – n при n ≤ t < n + 1, n - целое число. Для неё 
, или f 1(t) = t · [ η (t) − η (t − 1)] = t · η (t) − (t − 1) η (t − 1) − 1 · η (t − 1), поэтому 
, и 
.
5. Интегрирование оригинала. Если f (t) - функция-оригинал, и f (t) F (p), то 
- тоже функция-оригинал, и 
.
Док-во. 
(это повторный интеграл, вычисляемый по области {0 ≤ t < +∞, 0 ≤ τ ≤ t }; меняем порядок интегрирования, это можно сделать, так как несобственный двойной интеграл сходится абсолютно) 
.
6. Дифференцирование оригинала. Если функция-оригинал f (t) имеет производную f ′(t), тоже являющуюся оригиналом, и f (t) F (p), то f ′(t) p F (p) − f (+0).
Док-во. 
Мы пишем здесь f (+0), а не f (0), так как оригинал может иметь разрыв (первого рода) в точке t = 0.
Формула дифференцирования оригинала может применяться неоднократно. Если функция-оригинал f (t) имеет производные f ′(t), f ″(t), f ′″(t), f (4)(t), …, f (n)(t), и все они тоже являются оригиналами, имеющими изображения F 1(p), F 2(p), F 3(p), …, Fn (p), то, как только что доказано, f ′(t) F 1(p) = p F (p) − f (+0). Тогда f ″(t) F 2(p) = p F 1(p) − f ′(+0) = p 2 F (p) − p f (+0) − f ′(+0), f ″′(t) F 3(p) = p F 2(p) − f ″(+0) = p 3 F (p) − p 2 f (+0) − p f ′(+0) − f ″(+0), …, f (n)(t) Fn (p) = p nF (p) − p n − 1 f (+0) − p n − 2 f ′(+0) − p n − 3 f ″(+0) − … − p f (n − 2)(+0) − f (n − 1)(+0). 
7. Интегрирование изображения. Пусть f (t) - функция-оригинал, f (t) F (p), и функция 
ограничена в окрестности точки t = 0. Тогда тоже является оригиналом и 
.
Док-во. Проинтегрируем равенство 
по переменной q = ρ + i η по горизонтальному лучу, проведённому из точки p = ξ + i η, где ξ ≤ ρ = Re q < +∞: 
.
Иллюстрации применения теорем об интегрировании изображения и оригинала:
1. Найти изображение интегрального синуса 
.
Решение: 
(по теореме 20.2.7) 
(по теореме 20.2.5) 
.
2. Найти изображение функции 
.
Решение. 
.
8. Дифференцирование изображения. Если f (t) - функция-оригинал, и f (t) F (p), то − t f (t) F ′(p).
Док-во. 
. Дифференцируя это соотношение по параметру р, получаем 
.
Иллюстрации этого свойства. С его помощью просто получаются изображения степенных функций: 
, или ; 
, или 
, , или ; 
, или 
, и вообще 
.
Другие иллюстрации: 
, …, 
.
и т.д.
9. Изображение свёртки функций. Теорема Бореля. Интегралы Дюамеля.
Свёртка функций и её свойства.
Определение. Сверткой функций f 1(t) и f 2(t) называется функция 
.
Свёртка обозначается символом f 1 * f 2: 
. Если f 1(t) и f 2(t) - функции-оригиналы, то их свёртка - тоже функция-оригинал, показатель роста которой превышает наибольший из показателей роста функций f 1(t) и f 2(t) не больше, чем на 1. Действительно, пусть 
, 
, 
, тогда 
, так как t < e t.
Свёртка функций коммутативна: f (t) * g (t) = g (t) * f (t), в этом легко убедиться, заменив в интеграле переменную τ на τ 1 = t − τ.
Можно показать, что свёртка обладает свойством ассоциативности, т.е. что (f 1 * f 2) * f 3 = f 1 * (f 2 * f 3).
Теорема Бореля (теорема об умножении изображений). 
Изображение свёртки двух оригиналов равно произведению изображений свёртываемых оригиналов.
Док-во. 
(меняем порядок интегрирования)= 
.
С помощью этой теоремы легко находить оригиналы для изображений вида F 1(p)· F 2(p).
Примеры. Найти оригиналы, если
1. 
. Здесь 
, 
, поэтому 
.
2. 
. Здесь 
, 
, поэтому 
.
3. 
. Здесь 
, поэтому 
.
Интегралы Дюамеля. Запишем с помощью теоремы Бореля оригиналы для выражения вида pF (p) G (p), где F (p) и G (p) - изображения функций f (t) и g (t). С одной стороны, 
(так как, по теореме 20.2.8, 
); с другой стороны, 
.
В развёрнутом виде
,
.
Каждая из этих формул называется интегралом Дюамеля.
20.3. Таблица стандартных изображений.
Сведём в таблицу полученные ранее изображения элементарных функций.
| f (t) | F (p) | f (t) | F (p) | |||
| 1. | 1 | 
| 9. | e α t · sin β t | 
| |
| 2. | t n | 
| 10. | e α t · cos β t | 
| |
| 3. | e α t | 
| 11. | e α t · sh β t | 
| |
| 4. | e α t · t n | 
| 12. | e α t · ch β t | 
| |
| 5. | sin β t | 
| 13. | t · sin β t | 
| |
| 6. | cos β t | 
| 14. | t · cos β t | 
| |
| 7. | sh β t | 
| 15. | t · sh β t | 
| |
| 8. | ch β t | 
| 16. | t · ch β t | 
|
