Свойства преобразования Лапласа.

1. Линейность преобразования Лапласа. Если f (t), g (t) - функции-оригиналы, имеющие изображения F (p), G (p), то их линейная комбинация α f (t) + β g (t) (α = cost, β = const)- тоже функция-оригинал, и α f (t) + β g (t) α F (p) + β G (p).
Это свойство непосредственно следует из свойства линейности несобственного определённого интеграла. С его помощью можно более просто вывести изображения функций sin t, cos t, исходя из изображения : ; . Далее, ; .
2. Теорема подобия. Если f (t) - функция-оригинал и f (t) F (p), то для любого λ > 0 .
Док-во. .
Иллюстрации применения этого свойства: если , то ; если , то и т.д.
3. Теорема смещения. Если f (t) F (p), то e ^{α t} f (t) F (p − α),. Здесь α - произвольное комплексное число.
Док-во. .
Иллюстрации применения этого свойства: если , то ; если , то и т.д.
4. Теорема запаздывания. Если f (t) F (p) (т.е. f (t) · η (t) F (p)), то f (t − t ₀) · η (t − t ₀) e ^{− t} ₀ ^{· p} · F (p) для любого числа t ₀ ≥ 0.
Док-во. .
Теорема запаздывания применяется для изображения функций импульсных, составных, периодических. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Импульсные функции.
а) Единичный импульс: С помощью функции Хевисайда эта функция записывается так: . Мы знаем, что ; по теореме запаздывания (t ₀ = 1) , поэтому .
б) Запаздывающий прямоугольный импульс: Здесь .
в) Треугольный импульс. Аналитически эта функция записывается так: Изменение функции на переходе от участка T ≤ t ≤ T + τ к участку T + τ ≤ t ≤ T + 2τ равно ; при переходе к участку t > 2τ изменение функции равно , поэтому можно переписать , и, так как , , то .
г) Синусоидальный импульс. Здесь , поэтому .
Составные функции. Пусть f (t) задаётся разными выражениями на различных участках области определения:
. С помощью функции Хевисайда f (t) записывается так: , и теорема запаздывания позволяет получить изображение этой функции.
Периодические функции. Пусть f (t)- периодическая при t > 0 функция с основным периодом, равным T. Обозначим f ₁(t) функцию, описывающую первый период функции f (t):
. Теперь (каждое слагаемое описывает соответствующий период). Пусть - изображение функции f ₁(t). Тогда
.
Найдём в качестве примера изображение функции { t } - дробной части числа t. Эта функция определяется так: { t } = t – n при n ≤ t < n + 1, n - целое число. Для неё , или f ₁(t) = t · [ η (t) − η (t − 1)] = t · η (t) − (t − 1) η (t − 1) − 1 · η (t − 1), поэтому , и .
5. Интегрирование оригинала. Если f (t) - функция-оригинал, и f (t) F (p), то - тоже функция-оригинал, и .
Док-во. (это повторный интеграл, вычисляемый по области {0 ≤ t < +∞, 0 ≤ τ ≤ t }; меняем порядок интегрирования, это можно сделать, так как несобственный двойной интеграл сходится абсолютно) .
6. Дифференцирование оригинала. Если функция-оригинал f (t) имеет производную f ′(t), тоже являющуюся оригиналом, и f (t) F (p), то f ′(t) p F (p) − f (+0).
Док-во. Мы пишем здесь f (+0), а не f (0), так как оригинал может иметь разрыв (первого рода) в точке t = 0.
Формула дифференцирования оригинала может применяться неоднократно. Если функция-оригинал f (t) имеет производные f ′(t), f ″(t), f ′″(t), f ⁽⁴⁾(t), …, f ⁽ⁿ⁾(t), и все они тоже являются оригиналами, имеющими изображения F ₁(p), F ₂(p), F ₃(p), …, F_n (p), то, как только что доказано, f ′(t) F ₁(p) = p F (p) − f (+0). Тогда f ″(t) F ₂(p) = p F ₁(p) − f ′(+0) = p ² F (p) − p f (+0) − f ′(+0), f ″′(t) F ₃(p) = p F ₂(p) − f ″(+0) = p ³ F (p) − p ² f (+0) − p f ′(+0) − f ″(+0), …, f ⁽ⁿ⁾(t) F_n (p) = p ⁿF (p) − p ^{n − 1} f (+0) − p ^{n − 2} f ′(+0) − p ^{n − 3} f ″(+0) − … − p f ^{(n − 2)}(+0) − f ^{(n − 1)}(+0).
7. Интегрирование изображения. Пусть f (t) - функция-оригинал, f (t) F (p), и функция ограничена в окрестности точки t = 0. Тогда тоже является оригиналом и .
Док-во. Проинтегрируем равенство по переменной q = ρ + i η по горизонтальному лучу, проведённому из точки p = ξ + i η, где ξ ≤ ρ = Re q < +∞: .
Иллюстрации применения теорем об интегрировании изображения и оригинала:
1. Найти изображение интегрального синуса .
Решение: (по теореме 20.2.7)
(по теореме 20.2.5) .
2. Найти изображение функции .
Решение. .
8. Дифференцирование изображения. Если f (t) - функция-оригинал, и f (t) F (p), то − t f (t) F ′(p).
Док-во. . Дифференцируя это соотношение по параметру р, получаем .
Иллюстрации этого свойства. С его помощью просто получаются изображения степенных функций: , или ; , или , , или ; , или , и вообще .
Другие иллюстрации: , …, .
и т.д.
9. Изображение свёртки функций. Теорема Бореля. Интегралы Дюамеля.
Свёртка функций и её свойства.
Определение. Сверткой функций f ₁(t) и f ₂(t) называется функция .
Свёртка обозначается символом f ₁ * f ₂: . Если f ₁(t) и f ₂(t) - функции-оригиналы, то их свёртка - тоже функция-оригинал, показатель роста которой превышает наибольший из показателей роста функций f ₁(t) и f ₂(t) не больше, чем на 1. Действительно, пусть , , , тогда , так как t < e ^t.
Свёртка функций коммутативна: f (t) * g (t) = g (t) * f (t), в этом легко убедиться, заменив в интеграле переменную τ на τ ₁ = t − τ.
Можно показать, что свёртка обладает свойством ассоциативности, т.е. что (f ₁ * f ₂) * f ₃ = f ₁ * (f ₂ * f ₃).
Теорема Бореля (теорема об умножении изображений). Изображение свёртки двух оригиналов равно произведению изображений свёртываемых оригиналов.
Док-во. (меняем порядок интегрирования)= .
С помощью этой теоремы легко находить оригиналы для изображений вида F ₁(p)· F ₂(p).
Примеры. Найти оригиналы, если
1. . Здесь , , поэтому .
2. . Здесь , , поэтому .
3. . Здесь , поэтому .
Интегралы Дюамеля. Запишем с помощью теоремы Бореля оригиналы для выражения вида pF (p) G (p), где F (p) и G (p) - изображения функций f (t) и g (t). С одной стороны, (так как, по теореме 20.2.8, ); с другой стороны, .
В развёрнутом виде
,
.
Каждая из этих формул называется интегралом Дюамеля.

20.3. Таблица стандартных изображений.

Сведём в таблицу полученные ранее изображения элементарных функций.

	f (t)	F (p)			f (t)	F (p)
1.	1			9.	e α t · sin β t
2.	t n			10.	e α t · cos β t
3.	e α t			11.	e α t · sh β t
4.	e α t · t n			12.	e α t · ch β t
5.	sin β t			13.	t · sin β t
6.	cos β t			14.	t · cos β t
7.	sh β t			15.	t · sh β t
8.	ch β t			16.	t · ch β t