Мы будем изучать операционное исчисление как один из методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Каких-либо решающих преимуществ этот метод перед другими не имеет; в то же время его простота сделала его основным инструментом при решении задачи Коши в целом ряде прикладных наук (механике, радиотехнике, электротехнике и т.д.).
Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов) взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению.
Таким образом, мы должны изучить следующие вопросы:
1. Какие функции могут быть функциями-оригиналами и каковы свойства функций-изображений;
2. Каковы правила перевода оригиналов в изображения и обратно;
3. Какие изображения имеют основные элементарные функции (таблица стандартных изображений) 
1. Определение. Будем называть функцией-оригиналом действительнозначную или комплекснозначную функцию f (t) действительной переменной t, удовлетворяющую условиям:
1. f (t) = 0 при t < 0;
2. Существуют такие постоянные M > 0 и σ0 ≥ 0, что | f (t) | ≤ M · e σ0 t;
3. На любом отрезке [ a, b ] (0 ≤ a < b < ∞) функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов).
Смысл этих условий такой.
1. Так как одно из основных приложений операционного исчисления - решение задач с начальными условиями (задач Коши), то поведение функций до начального момента t = 0 несущественно;
2. Параметр σ0 во втором условии принято называть показателем роста функции f (t). Само второе условие означает, что скорость роста функции-оригинала не может быть больше экспоненциальной. В совокупности с третьим условием это обеспечивает существование и определенные полезные свойства функции-изображения и не является обременительным.
Приведём примеры функций-оригиналов. Для всех этих функций первое и третье свойства выполняются очевидно, поэтому будем проверять только второе свойство.
1). Единичная функция Хевисайда. Так называется функция, 
Очевидно, это - функция-оригинал (η (t) < e t).
2). 
. Заметим, что с помощью единичной функции Хевисайда η (t) определение этой функции можно записать короче: f (t) = t α · η (t) (α ≥ 0), так как функция η (t) в качестве множителя обнуляет любую другую функцию при t < 0. Дальше мы будем писать просто f (t) = t α , f (t) = e α t , f (t) = sin t, f (t) = cos t и т.д., имея в виду, что все функции начинаются в момент t = 0, и при t < 0 тождественно равны нулю.
Для функции f (t) = t α получаем: t < e t при t ≥ 0, поэтому t α < e α t .
3). f (t) = sin t. | sin t | ≤ 1 = 1· e 0· t и т.д.
Примеры функций, не являющихся оригиналами:
1). 
Эта функция имеет разрыв второго рода в точке t = 1.
2). 
Функция имеет бесконечное число экстремумов на отрезке [0,1].
3). 
Не существует таких констант M и σ0, что | f (t) | ≤ M · e σ0 t.
2. Определение. Изображением по Лапласу функции-оригинала f (t) (или преобразованием Лапласа функции f (t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством
.
Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно в любой точке p, удовлетворяющей неравенству Re p ≥ σ1, где σ1 - произвольной число, такое, что σ1 > σ0. Действительно, 
(так как | e − i Im p · t | = | cos(Im p · t) − i sin(Im p · t)| = 1) = 
M | e −Re p · t |· e ·σ0 t = M e −(Re p − σ0) t ≤ M e −(σ1 − σ0) t , а интеграл 
сходится. Таким образом, мы доказали, что изображение F (p) определено в любой точке p, такой что Re p > σ0, т.е. в полуплоскости справа от прямой Re p = σ0. Как следствие, показатель скорости роста оригинала число σ0 часто называют абсциссой сходимости.
Заметим, что мы доказали также, что 
: так как | e − pt · f (t)| ≤ M e −(Re p − σ0) t , то 
. Кроме того, в оценке | e − pt · f (t)| ≤ M e −(σ1 − σ0) t мы мажорировали модуль подынтегральной функции функцией, не зависящей от p, интеграл от которой сходится. Как и в теории функциональных рядов, этого достаточно, чтобы сходимость интеграла была равномерной по переменной p, поэтому функцию F (p) можно дифференцировать и интегрировать по этой переменной.
3. Изображения простейших функций.
1). Единичная функция Хевисайда Её изображение: 
, так как 
. Соответствие между функцией-оригиналом и изображением обозначается по-разному: знаком равенства с точками, стрелками с точками и т.д.; мы будем применять обозначения f (t) 
F (p) и f (t) 
F (p), наиболее подходящие из имеющихся в Word’е. Итак, доказано: 
.
2). Показательная функция f (t) = e α t .
.
3).Тригонометрическая функция f (t) =sinω t.
(мы с помощью двукратного интегрирования по частям сводим интеграл к самому себе) 
. Для F (p) получено уравнение 
. Итак, 
.
4). Тригонометрическая функция f (t) = cosω t.
Аналогично предыдущему доказывается, что 
.
5). Степенная функция f (t) = t n. При n = 1 находим 
, так как 
. Итак, 
. Аналогично можно доказать, что 
, 
, и вообще при целом n 
. Дальше мы получим более простой вывод этих формул с помощью теоремы о дифференцировании изображения.
