1. Формула Римана-Меллина. Если функция F (p) - изображение функции-оригинала f (t), то f (t) может быть найдена по формуле
.
Это равенство имеет место в каждой точке, в которой f (t) непрерывна. В точках разрыва функции f (t)значение правой части равно 
. Интеграл в правой части формулы называют интегралом Меллина; интегрирование может вестись по любой вертикальной прямой p = σ + i ω, σ = const> σ0, − ∞ < ω < ∞, и интеграл понимается в смысле главного значения: 
.
Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.
2. Элементарный метод нахождения оригинала. Этот метод основан на непосредственном применении таблицы стандартных изображений 20.3 и свойств преобразования Лапласа.
Примеры. 1. 
. Представляя изображение в виде 
и сравнивая эти выражения с формулами 9, 10 таблицы, находим оригинал 
.
2. 
. Наличие степеней переменной р в знаменателе позволяет применить теорему 20.2.5 об интегрировании оригинала: 
, 
, 
.
Можно решить этот пример с помощью свёртки: 
, 
. Однако проще всего представить F (p) в виде суммы простых дробей 
.
3. Первая теорема разложения. Если точка p = ∞ является нулём функции F (p), F (p) аналитична в окрестности этой точки и разложение функции по степеням р в окрестности точки p = ∞ имеет вид 
, то функция F (p) есть изображение функции 
.
Это выражение получается в результате почленного перехода к оригиналам в ряде 
: так как 
, то 
, и 
.
Примеры. 1. 
. Условия теоремы выполнены. Лорановское разложение функции F (p) в окрестности точки p = ∞: 
.
2. 
. Здесь 
.
4. Вторая теорема разложения. Пусть функция F (p) комплексной переменной р аналитична во всей плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек p 1, p 2, p 3, …, pn, расположенных в полуплоскости Re p < σ0. Если 
, и F (p) абсолютно интегрируема вдоль любой вертикальной прямой Re p = σ, σ > σ0, то F (p) является изображением, и 
.
Док-во. Сведём интеграл в формуле Римана-Меллина 
к интегралу по замкнутому контуру. Контур Γ составим из отрезка AB прямой Re p = σ, σ > σ0, и дуги CR окружности | p | = R, расположенной слева от отрезка и содержащей внутри себя все особые точки функции F (p). По основной теореме о вычетах 
. 
, поэтому 
. Устремим R → +∞. По лемме Жордана 
; а для второго интеграла получаем 
, поэтому в пределе 
.
Применим эту теорему для обращения изображения . Функция F (p) · e pt имеет три особых точки: p = 0 (полюс второго порядка) и 
(простые полюсы), поэтому 
. Находим вычеты: 
; 
; 
; 
.
Если F (p) - несократимая дробно-рациональная функция: 
и R m 2 - многочлены соответствующих степеней, и точка p k - полюс порядка ν k, т.е. точка p k - нуль порядка ν k знаменателя R m 2, то 
. Производную произведения представим по формуле Лейбница: 
, 
, поэтому 
.
Если все особые точки дробно-рациональной функции F (p) - простые полюса, т.е простые нули знаменателя R m 2, то эта формула существенно упрощается: 
, и 
.
Пример: 
. Здесь знаменатель R 4 (p) = (p − 2)(p + 3)(p 2 + 4) = (p − 2)(p + 3)(p − 2 i)(p + 2 i) = p 4 + p 3 − 2 p 2 + 4 p + 24 имеет только простые нули, R ′4 (p) = 4 p 3 + 3 p 2 − 4 p + 4, поэтому 
.
