СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ
 |
Знак: .
Союз «или» может употребляться в строгом смысле – когда члены дизъюнкции исключают друг друга.
Суждение «Автор «Войны и мира» то ли Толстой, то ли Достоевский» является строгой дизъюнкцией
Запись этого суждения с помощью логических связок будет выглядеть:
4. ИМПЛИКАЦИЯ ( от лат. implico – тесно связываю)
Знак: →.
В языке аналоги этой связки союзы: «если…, то»; «когда…, тогда»; «коль скоро…, то» и т.п.
Обычно с помощью импликации выражаются причинно-следственные отношения типа: «Если выглянет Солнце, то станет тепло». a → b. Первый элемент импликации называется основанием (антецедентом), второй – следствием (консеквентом).
5. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ ( от позднелат. aequivalens – равнозначный; равноценный)
Знак: ↔ или ≡.
В языке аналоги этой связки союзы: «если и только если»; «тогда и только тогда, когда…»; «лишь при условии, что…, то».
Суждение: «Только тогда ребёнок получит конфету, когда доест весь суп» является эквиваленцией.
Запись этого суждения с помощью логической связки будет выглядеть: a ↔ b или a ≡ b
6. ОТРИЦАНИЕ
Знак: ~ или. ставятся перед суждением ~а или а; или черта, которая ставится над суждением
В языке отрицание выражается союзами и словами: «не», «неверно» и т.п.
Суждение: «Не заводится машина» записывается как ~а
Суждение: «Любит или не любит» содержит строгую дизъюнкцию и отрицание.
Упражнения: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок.
| 1. Он в кафе закажет чай или мороженое. | a ˅ b |
| 2. Преступление может быть умышленным или совершённым по неосторожности. |  a b
|
| 3. Если число делится на два без остатка, то оно чётное. | a → b |
| 4. Простое число больше единицы и имеет только два натуральных делителя. | а ˄ b |
| 5. «Пять» больше единицы, но не простое число. | а ˄ ~ b |
Самопроверка: Запишите суждения в виде логической формы с помощью логических связок
Для самопроверки выделите столбец «формула» и измените цвет шрифта
| Суждение | Формула |
| 1. Когда придёт весна, то станет тепло и растает весь снег. | a → (b ˄ с) |
| 2. Если число больше единицы и имеет только два натуральных делителя, то оно является простым. | (а ˄ b) → c |
| 3. студент получит зачёт-автомат по логике, только если он будет посещать занятия и правильно выполнит все задания. | a ↔ (b ˄ с) |
| 4. Если болезнь запущена, то её трудно излечить. Однако, если болезнь не запущена, то её трудно распознать, но её не трудно излечить. | (а → b) ˄ ~ a → (c ˄ ~b) |
ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ
Значение истинности сложных суждений определяется с помощью таблиц истинности, где буквы a, b, c – переменные, обозначающие простые суждения; буква «и» обозначает истину, а «л» - ложь.
| а | b | а ˄ b | а ˅ b |  а b
| a → b | a ↔ b | ~а | ~ b |
| и | и | и | и | л | и | и | л | л |
| и | л | л | и | и | л | л | л | и |
| л | и | л | и | и | и | л | и | л |
| л | л | л | л | л | и | и | и | и |
Также возможно обозначать истину нулём «1», а ложь единицей «0».
| а | b | а ˄ b | а ˅ b | а b
| a → b | a ↔ b | ~а | ~ b |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1. КОНЪЮНКЦИЯ а ˄ b или а & b
Конъюнкция будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны.
2. ДИЗЪЮНКЦИЯ а ˅ b
Сложное суждение истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих его простых суждений, и ложно, если оба простых суждения ложны.
СТРОГАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ
Сложное суждение истинно, если истинно лишь одно из составляющих его простых суждений, так как элементы сложной дизъюнкции исключают друг друга.
4. ИМПЛИКАЦИЯ a → b
Сложное суждение, соединённое импликацией, ложно только в одном случае: если основание (первое суждение) истинно, а следствие (второе суждение) ложно.
5. ЭКВИВАЛЕНЦИЯ a ↔ b или a ≡ b
Сложное суждение, соединённое эквиваленцией, истинно только в тех случаях, когда составляющие его простыt суждения, либо оба истинны, либо оба ложны.
6. ОТРИЦАНИЕ ~а или а или ~ b; b;
Если а истинно, то его отрицание ложно. Если а ложно, то не -а (~а) – истинно.
Если b истинно, то его отрицание ложно. Если b ложно, то не - b (~ b) – истинно.
Если отрицание стоит внутри суждения перед связкой «есть», то мы имеем дело с простым отрицательным суждением типа «Черепахи не летают». Если же отрицание присоединяется к суждению снаружи – «Неверно, что черепахи летают», то мы имеем дело с логической связкой, преобразующей простое суждение в сложное.
Если знак отрицания стоит непосредственно перед а или b, то есть ~а; ~ b, то отрицание применяется только к одному суждению.
Если знак отрицания стоит перед скобкой ~(a → b), то отрицанию будет подвержена операция, указанная в скобках. В данном примере, ̶ это отрицание импликации. Сначала выполняется импликация, затем результат подвергается отрицанию.
 |
Выполнима та формула, которая может принимать по крайней мере одно значение «истина».
Тождественно-истинная формула та, которая при любых комбинациях значений для входящих в неё переменных принимают значение «истина» (иначе она называется законом логики).
Тождественно-ложная формула та, которая принимает только значение «ложь» (иначе ‒ противоречие).
 |
!!! Следует помнить, что логику интересует не содержание, а исключительно форма мысли!
Устанавливать истинность сложных суждений в логике, опираясь на здравый смысл или жизненный опыт, или обращение к действительности, ̶ неправильно!
Формально-логические связки не в состоянии учитывать многих смысловых оттенков естественного языка. Значения истинности некоторых сложных суждений достаточно близки к здравому смыслу, но другие могут показаться странными. Поэтому то, то с точки зрения содержания может выглядеть непривычно, с точки зрения формы будет являться правильным.
СОСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ
Чтобы проверить сложное суждение с помощью таблицы истинности, необходимо грамотно её составить.
Например, нужно проверить суждение: «Если пойдёт дождь, то дорога будет мокрая».
1. Определим все простые суждения, составляющие данное сложное высказывание и узнаем количество переменных n:
а – пойдёт дождь; b – дорога будет мокрая
Получилось две переменных (а, b), соединённых союзом «если, то»
2. Количество строк (k) в таблице определяется по формуле: k = 2n, где n – количество переменных (то есть количество простых суждений, составляющих сложное).
В данном примере k = 22 = 4 Значит будет четыре строчки в таблице.
3. Количество столбцов в таблице будет зависеть от количества операций (логических связок) в сложном суждении.
Сначала в первых столбцах распределяются все возможные значения истины и лжи для переменных.
| а | b |
В данном примере две переменные, следовательно, четыре строки.
| а | b |
| и | |
| л | |
| и | |
| л |
В самом правом столбце (b) чередуют «и» и «л» по одному, начиная всегда с «истины»
Во втором справа столбце (а) чередуют подряд два значения «и» и два значения «л», начиная всегда с «истины».
| а | b |
| и | и |
| и | л |
| л | и |
| л | л |
Затем направо выписывают логические формы всех сложных суждений, входящих в рассматриваемое суждение. В данном примере указана одна логическая связка «если, то» – импликация.
| а | b | a → b |
| и | и | |
| и | л | |
| л | и | |
| л | л |
Осталось определить значения истинности для импликации. Сложное суждение, соединённое импликацией, ложно только в одном случае: если основание (первое суждение) истинно, а следствие (второе суждение) ложно.
| а | b | a → b |
| и | и | и |
| и | л | л |
| л | и | и |
| л | л | и |
1. Дождь пошёл, дорога мокрая. а – истина; b – истина. Следовательно, если а, то b (a → b) – истина
2. Дождь пошёл, но дорога не стала мокрая. а – истина; b – ложь. Следовательно, если а, то b (a → b) – ложно. Невозможно, чтобы причина была, а следствие не наступило.
3. Дождь не пошёл, но дорога мокрая а – ложь; b – истина. Следовательно, a → b – истина. Дорога может быть мокрой и по другой причине.
4. Дождь не пошёл и дорога не намокла. а – ложь; b – ложь. Следовательно, a → b – истина.
Если сложное суждение составлено из трёх простых, то есть состоит из трёх переменных (а, b, c), то таблица истинности, включающая все возможные комбинации истинности или ложности её переменных, будет состоять из 23 = 8 строк.
Алгоритм распределения значений «и» и «л» для трёх переменных таков:
| а | b | с |
| Начинаем распределять значения с крайнего правого столбца (с) и распределяем значения «и» и «л» попеременно, начиная с «истины».
Затем распределяем значения во втором столбце справа (b), распределяем значения «и» и «л», чередуя подряд по два значения «и», затем по два значения «л»; затем опять два значения «и» и два значения «л».
В крайнем левом столбце (а) чередуем «и» и «л», чередуя подряд сначала четыре значения «и» и затем четыре значения «л» |
| и | и | и | ||
| и | и | л | ||
| и | л | и | ||
| и | л | л | ||
| л | и | и | ||
| л | и | л | ||
| л | л | и | ||
| л | л | л |
Упражнения:
1. Запишите высказывание в виде логической формы, используя логические связки: «Если ты сможешь доказать мне свои добрые намерения, то я поверю тебе или же мне придётся вызвать полицию и обвинить тебя в лжесвидетельстве» (Г. Каттнер. Источник миров).
Выпишем все простые суждения, входящие в состав сложного высказывания:
а – ты сможешь доказать мне свои добрые намерения
b – я поверю тебе
с – мне придётся вызвать полицию
d – (мне придётся) обвинить тебя в лжесвидетельствовании.
Определим связки между элементами: если а, то b или с и d
(a → b) ˅ (c ˄ d)
Запишите высказывание в виде логической формы, используя логические связки; составьте таблицу истинности для получившейся формулы.
«Законы становятся уважаемыми тогда и только тогда, когда созданы законы достойные уважения, а правительство не нарушает их».
1. Выпишем простые суждения, входящие в состав сложного высказывания:
а – законы становятся уважаемыми
b – созданы законы достойные уважения
с – правительство не нарушает их
2. Определим связки между элементами: а тогда и только тогда, когда b, а с
3. Запишем в виде логической формы: а ↔ (b ˄ с)
4. Определим сколько строк будет в таблице истинности по формуле: k = 23 = 8
Определим сколько столбцов будет в таблице истинности. Всего будет пять столбцов: три столбца для каждой переменной, для конъюнкции b ˄ с; и для эквиваленции а ↔ (b ˄ с)
| а | b | с | b ˄ с | а ↔ (b ˄ с) |
| и | и | и | и | и |
| и | и | л | л | л |
| и | л | и | л | л |
| и | л | л | л | л |
| л | и | и | и | л |
| л | и | л | л | и |
| л | л | и | л | и |
| л | л | л | л | и |
5. Составим таблицу истинности.
3. Самопроверка. Запишите суждение в виде логической формы, используя логические связки. Составьте таблицу истинности для получившейся формулы: «Если бы на дороге были пробки, то мы бы опоздали на поезд, но не было пробок на дороге и мы не опоздали на поезд».
Для самопроверки выделите формулу и таблицу, и измените цвет текста (а → b) ˄ (~ a ˄ ~ b)
| а | b | a → b | ~а | ~ b | ~a ˄ ~ b | (а → b) ˄ (~a ˄ ~b) |
| и | и | и | л | л | л | л |
| и | л | л | л | и | л | л |
| л | и | и | и | л | л | л |
| л | л | и | и | и | и | и |
