Решение матричных уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁, x₂,…,x_n.

 

          (1)

 

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в виде: , где:

 

 

 

Если определитель матрицы А не равен 0, то система имеет единственное решение, т.к. существует обратная матрица А^-1 при умножении обеих частей уравнения на которую получаем:

 

 

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve:

lsolve(А, b)- возвращается вектор решения x такой, что  (см. рис. 9).

 

 

Рис.9.

Метод Гаусса

Метод Гаусса состоит в том, что систему (1) приводят последовательным исключение неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей:

 

решение которой находят по рекуррентным формулам:

,

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

Последний, (n+1) этой матрицы содержит решение системы (1).

В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A). На рис.10 показано решение системы линейных уравнений методом Гаусса, в котором используются следующие функции:

 

Рис. 10

rref(A) - возвращает ступенчатую форму матрицы А.

augment(A, В) - возвращает матрицу, сформированную слиянием матриц-аргументов слева направо. Массивы A и В должны иметь одинаковое число строк.

submatrix(A, ir, jr, ic, jc) - возвращает матрицу, состоящую из всех элементов с ir по jr строкуи столбцах с ic по jc. Удостоверьтесь, что ir ≤ jr и ic ≤ jc, иначе порядок строк и (или) столбцов будет обращен.

При работе с массивами следует уметь обращаться с системной переменной ORIGIN. Если в тексте документа она не упоминается, то её значение по умолчанию считается равным нулю и нумерация элементов в массиве начинается с нулевого элемента, как в языке Си. При желании можно начать нумерацию с единицы. Для этого следует ввести оператор ORIGIN:=1.

 

Создание графиков

В Mathcad встроено несколько различных типов графиков, которые можно разбить на две большие группы:

Ø Двумерные графики

- XY (декартовый) график,

- полярный график;

Ø Трехмерные графики

- график трехмерной поверхности,

- график линий уровня,

- трехмерная гистограмма,

- трехмерное множество точек,

- векторное поле.