. f(x, y) (, ) , :
.
.. .
.
n , .
.
. z = f(x, y), , 0(0, 0)
0 .
. z = f(x, y), , 0(0, 0)
0 .
. ( ).
f(x,y) (0, 0) , , .
(0, 0) .
. ( ).
(0, 0) f(x, y) . :
1) D(x0, y0) > 0, (0, 0) f(x, y) ,
- , - .
2) D(x0, y0) < 0, (0, 0) f(x, y)
, D = 0, .
.
, , u = f(x, y), , ..
j(, ) = 0, .
, .. .
u = f(x, y(x)).
:
=0 (1)
:
(2)
(2) l (1).
l , :
. . .
u = f(x, y) + lj(x, y) .
. f(x, y) = xy, :
|
|
2x + 3y 5 = 0
, .
.
, , .
.
u(x, y, z) (x, y, z) 1(x + Dx, y + Dy, z + Dz).
1 . , , z a, b, g. .
1 DS.
, :
z
M
M1
y
x
, u(x, y, z) , z. :
,
e1, e2, e3 .
:
, :
;
, s . .
:
: u(x, y, z) (x, y, z).
.
. z = x2 + y2x (1, 2) . (3, 0).
. .
=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 .
:
=
z :
:
:
=
, , .. .
:
cosa = ; cosb = -
: - .
|
|
.
: D u = u(x, y, z) , u
,
u.
, D .
.
: u = u(x, y, z)
.
gradu .
: u = u(x, y, z) gradu.
, u s.
.. . gradu j, . , , .. , :
, gradu .
.
, , u - . , .. .. .
.
.
, . , . .
.
,
f(x, y) = 0.
y
0 x
, D. , , D.
D - , .
D n , Di, Di. , , .
, S , Si = Dxi × Dyi.
(i, yi)
f D.
Di, , , Si .
: D , f(x, y) D.
, Si = Dxi × Dyi :
S, .. .
.. , i, , Si , :
|
|
.
.
. f(x, y) D, .
. f(x, y) D , , .
.
1)
2)
3) D = D1 + D2,
4) . f(x, y) .
5) f(x, y) ³ 0 D, .
6) f1(x, y) £ f2(x, y), .
7) .
.
. f(x, y) D, = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), j y -
j £ y,
y y = y(x)
D
y = j(x)
a b x
. , D : y = 0, y = x2, x = 2.
y
4
D
0 2 x
=
=
. f(x, y) D, y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)),
. , D y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
y
y = x
2
D
1
0 x
. , D = 0, = 2, = 2.
=
=
. , =1, = , = 2.
1.
2.
3.
.
, a b, j1(x) j2().
= f(u, v); y = j(u, v)
dx = ; dy = ;
.. , dx = 0.
, ..
dy, :
f(u, v) j(u, v).
|
|
( (1804-1851) )
.. dx ( v = const, dv = 0), , :
.
:
,
:
t - ,
.
, , .. .
, , , , .
v, j(x, y, z) = 0.
1 2 , 1 2 , z1 z2 .
.
.
.
:
. . .
.
.
z
P
z
0
q x
r
y
:
:
:
.
z
P
r
j
0 q x
y
:
:
:
.
1) .
y
y = j(x)
S
y = f(x)
a b x
S, :
. , y2 = 4x + 4;
|
|
x + y 2 = 0.
:
(0, 2) (8, -6). , = 2 , 6 2. :
S =
2) .
3) .
, z = f(x,y),
.
.
z
z = f(x, y)
x1 y1 x2
x
y2
y
V =
. , : x2 + y2 = 1;
x + y + z =3 Y.
: :
Y: x1 = -1; x2 = 1;
4) .
: f(x, y, z) = 0, :
, .. z = j(x, y), :
5) .
( D) , f(x,y) = 0. :
- :
- :
- : - .
6) .
:
w (dm = wdydx ).
7) .
f(x, y, z) = 0, :
z1 z2 , 1 2 , 1 2 .
8) .
9) .
10) .
11) .
.. 8 11 r , w (, , z), dv
- : dv = dxdydz;
- : dv = rdzdjdq;
- : dv = r2sinjdrdjdq.
12) .
w .
1.
3.
4.
:
13 .
, .
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, .
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15 .
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, .
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().
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