.
:
,
0 < q < 1, Dx = b a, Dy = f(b) f(a).
.
( (1789-1857)- )
f(x) g(x) [ a, b] (a, b) g ¢(x) ¹ 0 (a, b), e, a < e < b, ,
.
.. e.
. , . , , .. e . , , - , , .
.
,
[a, b] . , = = b F(a) = F(b) = 0. e,
a < e < b, , F¢(e) = 0. ..
,
.. ,
.
, ( g(x) = x) . . , .
.
.
( (1661-1704) )
:
( ). f(x) g(x) , , g ¢(x) f(a) = g(a) = 0, , ( ) .
. , :
e - , . , f(a) = g(a) = 0:
. .. e , e, . , :
.
.
: .
, . , .
|
|
f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;
;
: .
; ;
.
, , .. . , , .
: .
; ;
; ;
; ;
, . ( , .).
: .
; ;
- . .
; ;
- .
; ;
;
. , f(x)>0 . lny = g(x)lnf(x).
: .
y = xx, lny = xlnx.
.
: .
; - . .
; ;
.
f(x)- . , ,
f¢(x), f(x).
.. y¢¢ = (y¢)¢ .
, n.
.
.
u = f(x) v = g(x) ,
1) (u)(n) = Cu(n);
2) (u v)(n) = u(n) v(n);
3)
.
.
dny = f(n)(x)dxn n- .
.
.
. 1) f(x) [ a, b] , , .. f ¢(x) ³ 0.
2) f(x) [ a, b] (, b), f ¢(x) > 0 a < x < b, [ a, b].
.
1) f(x) , f(x + Dx) > f(x) Dx>0 f(x + Dx) < f(x) D<0,
:
2) f¢(x)>0 1 2, [a, b], x1<x2.
: f(x2) f(x1) = f¢(e)(x2 x1), x1 < e < x2
f¢(e)>0, , f(x2) f(x1) >0, .. f(x) .
.
, f(x) [a, b], f¢(x)£0 . f¢(x)<0 (a, b), f(x) [a, b].
|
|
, , f(x) [a, b] (a, b).
:
y y
j j j j
x x
.
. f(x) 1 , , 1. f(x) 2 , f(x2 +Dx) > f(x2) D (D ).
, , , . .
. .
. ( ) f(x) = 1 1 , .
. , f(x) = 1 .
D>0 :
, ..
:
.. D0, D<0, f¢(x1) ³ 0, D0, D>0, f¢(x1) £ 0.
, D0 f¢(x1) = 0.
, f(x) 2 .
.
. . , , . = 3, = 0 , , .
. , .
, .
: f(x) = ôxô : f(x) =
y y
x
x
= 0 , = 0
. , , -
.
, f(x) , .
. ( )
f(x) (a, b), 1, (, , 1).
1 f ¢(x) + -, = 1 f(x) , - +- .
|
|
.
: f(x) f(x1) = f ¢(e)(x x1), x < e < x1.
: 1) < x1, e < x1; f¢(e)>0; f¢(e)(x x1)<0,
f(x) f(x1)<0 f(x) < f(x1).
2) > x1, e > x1 f¢(e)<0; f¢(e)(x x1)<0,
f(x) f(x1)<0 f(x) < f(x1).
. . , , f(x) < f(x1) 1, .. 1 .
.
.
:
1) .
2) .
3) .
4) .
.
= 1 f¢(x1) = 0 f¢¢(x1) 1.
. f ¢(x1) = 0, f(x) = 1 , f ¢¢(x1)<0 , f ¢¢(x1)>0.
.
f¢(x1) = 0 f¢¢(x1)<0. .. f(x) , f¢¢(x1) 1.
.. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, f¢(x) , 1, f¢(x1)=0, .. f¢(x) > 0 <x1 f¢(x) < 0 x>x1. , = 1 f¢(x) + -, .. f(x) .
.
f¢¢(x) = 0, . .
.
.
. (, b), . , , , , .
x
.
1. (a, b) f(x) , y = f(x) ().
. 0 Î (a, b). .
: y = f(x);
:
, .
f(x) f(x0): , x0 < c < x.
> x0 x0 < c1 < c < x. .. x x0 > 0 c x0 > 0,
, , .
x < x0 x < c < c1 < x0 x x0 < 0, c x0 < 0, ..
.
, f¢¢(x) > 0 (a, b), y=f(x) (a, b).
|
|
.
. , , .
, .
2. y = f(x). f ¢¢(a) = 0 f ¢¢(a) = f ¢¢(x) , = .
. 1) f¢¢(x) < 0 < a f¢¢(x) > 0 x > a.
x < a , x > a , .. = .
2) f¢¢(x) > 0 x < b f¢¢(x) < 0 x < b. x < b , x > b . x = b .
.
.
, .
. , .
, . . .
, , , , , . = .
.
.
, , = y = f(x).
, = 5 .
.
, y = f(x) y = kx + b.
M
j
N
j P
Q
, . j. Q N.
MQ = y , NQ = - N .
: , ÐNMP = j, .
j - 900,
.
, y = kx + b . k b.
:
.. ¥, , .. b = const, .
, ,
.
.. , , ,
, k =0.
. .
1) : y+¥ x0-0: y-¥ x0+0, , = 0- .
2) :
, = + 2 .
:
. .
= 3 = -3 .
: