.
. f(x) , - , , >0 D>0,
ïf(x)ï>M
,
0 < ïx - aï < D
.
, ïf(x)ï>M f(x)>M, :
f(x)<M, :
:
a x a x a x
. , ¥, +¥ -¥, , ¥, +¥ -¥.
.
. f (x) 0 ( ¥) ,
.
a(), b() g() . a, b g . , .. .
, f(x) = x10 , f(x) = x.
. , a , b.
. , a b .
. a b . a ~ b.
. 0 f(x) = x10 f(x) = x.
.. f(x) = x10 , f(x) = x.
. a k b, .
, . , , .
. , 0 , .. a - 2 b.
. , 0 , .. a b .
.
1) a ~ a,
2) a ~ b b ~ g, a ~ g,
3) a ~ b, b ~ a,
4) a ~ a1 b ~ b1 , .
: ) a ~ a1 ,
) b ~ b1 ,
4 , .. , . , .
|
|
.
tg5x ~ 5x sin7x ~ 7x 0, , , :
. .
1 cosx = 0, .
.
a b - , b - , a, g = a + b - , a. .
, a - g.
. 2 + 0, . , a = 2, b = ,
.
.
, P(x) = a0xn + a1xn-1 ++an,
Q(x) = b0xm + b1xm-1 ++bm - .
:
.
.
, .
, , :
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
x 2 6 x + 8 = 0; x 2 8 x + 12 = 0;
D = 36 32 = 4; D = 64 48 = 16;
x 1 = (6 + 2)/2 = 4; x 1 = (8 + 4)/2 = 6;
x 2 = (6 2)/2 = 2; x 2 = (8 4)/2 = 2;
. .
: =
= .
. .
. .
.
x 2 3 x + 2 = (x 1)(x 2)
x 3 6 x 2 + 11 x 6 = (x 1)(x 2)(x 3), ..
x3 6x2 + 11x 6 x - 1
x3 x2 x2 5x + 6
- 5x2 + 11x
- 5x2 + 5x
6x - 6
6x - 6 0
x2 5x + 6 = (x 2)(x 3)
. .
- , .. 2 -∞ +∞.
.
. f(x), 0, 0, , ..
|
|
:
. f(x) 0, 0, , 0 .
:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)-e
0 x0-D x0 x0+D x
:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)-e
x0 x
. f(x) 0, e>0 D>0, ,
.
. f(x) = 0, 0 .
f(x) = f(x0) + a(x)
a() 0.
.
1) , 0 , 0.
2) , g(x) 0.
3) .
:
u = f(x), v = g(x) = 0, v = g(f(x)) .
, .
.
1) f(x) = C, C = const .
2) , , . , .
3) sin cos .
3 y = sinx.
Dy = sin(x + Dx) sinx, :
, . D0 , ..
, D0.
, , , .. D . , = sinx = 0 , .. .
.
f(x), 0, . , = 0 , , .
, . .
(. ) , .
|
|
0
(. ) , .
0
. 0 f(x), f(x) 0 .
. 0 1- , f(x) , .
, = 0, , .
, 1 . 1 , .
. 0 2 , f(x) .
. ( (1805-1859) , - 1837)
0.
. f(x) = 0 = 0 2 , ..
.
. f(x) =
= 0, , .. = 0 1 . , .. :
:
. f(x) = =
y
1
0 x
-1
sign(x) . = 0 . .. , 1 . = 0, f(0) = 1, , f(0) = -1, , f(x) - , 1 1, , , = 0 1 . 1 .
, , 1 , , , .
.
. f(x) (), ().
, .
, .
1: ( ( (1815-1897)- )). , , , .. [a, b] M £ f(x) £ M.
|
|
, , 0, , [a, b] , 0, 0.
2: , [a, b], .
.. 1 2, f(x1) = m, f(x2) = M,
m £ f(x) £ M
( f(x) = sinx).
.
3: ( ). , [a, b], .
4: f(x) = 0, 0, .
5: ( (1781-1848) ). f(x)- [a, b] , , f(x) = 0.
.. sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), $ 0: f(x0) = 0.
. f(x) [a, b], e>0 D>0 , 1Î[a,b] x2Î[a,b] ,
ï2 1ï< D
ïf(x2) f(x1)ï < e
, e D, , D e .
6: ( (1845-1918)- ). , , .
( , .)
.
(0, ), , .. D>0 , 1 2 , ïf(x1) f(x2)ï>e, e - , 1 2 .
7: f(x) , , = g(y) , .
. , .
= -1 ࠠ = 1 1 ࠠ
3
2
-4 -1 0 1
. , .
= 0 ࠠ = 1 1 ࠠ
2
1
-p -p/2 0 1 x
.
. z , a b , i , :
a z (a = Re z), b - (b = Im z).
a = Re z =0, z , b = Im z = 0, z .
. .
. , :
|
|
. , .
. . , . , , , , , , .
, , . , - .
A(a, b)
r b
j
0 a x
, , Y .
.
.
, . :
.
r , j - .
.
:
, .
.
.
1) .
2) .
:
,
:
3) .
:
4) .
,
:
,
n .
.
( (1667 1754) )
, .. .
. sin2j cos2j.
.
:
,
.. , ,
.
5) .
, :
:
, n n .
.
, w :
. . (.).
:
1)
2)
3) m .
(=0), :
:
:
.
:
:
.
.
. f (x) .
. ( (1730 1783) )
f (x) x a , f (a).
. f (x) x a f 1 (x) , f (x), R.
a, f (a) = R.
. , , .. f (a) = 0, f (x) ( ) .
. () = 0, () n, n.
. ( ) f (x) , , , .
. n n (x a) , xn.
. , .
, :
ki - .
, n n ( ).
, .
.
. . ) , ) , z 20,
a) , :
:
: 16(- i)4 = 16 i 4 =16.
) ,
.
.
,
.
.
. , .
Î
, , .
, , Æ.
. , , () .
Ì
. Í , , ¹ , Ì .
, , .
:
Ù ( ).
.
. , .
= È .
.
. , .
= Ç .
Ѡ
, :
Ç = È = ; A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;
(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C); (A È B) È C = A È (B È C);
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);
A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;
Æ = ; A Ç Æ = Æ;
. , , .
= \ .
. , .
D .
D = (A \ B) È (B \ A)
A B
. , Í C = \ A.
A E
, :
A \ B Í A; A \ A = Æ; A \ (A \ B) = A Ç B;
A D B = B D A; A D B = (A È B) \ (A Ç B);
A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C); A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);
(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);
A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);
(A D B) D C = A D (B D C); A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C);
A È CEA = E; A Ç CEA = Æ; CEE = Æ; CEÆ = E; CECEA = A;
CE(A È B) = CEA Ç CEB; CE(A Ç B) = CEA È CEB;
. , - .
,
Æ = A \
.
AÇB
. , .
A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)
Î \ ( È ), , , .
\ , .
\ , .
(A \ B) Ç (A \ C) , , , .
, .
.
. (a, b) a b {{ a },{a, b}}.
a, b, c, d :
. (a, b), Î, b ÎB.
n.
. n R n. R n (1,2, n) ÎR, , R 1,2, n R 12 n. n = 2, .
R a 1 a 2 1 Ra 2.
.
. R S, ,
| .
. () R, , R-1, :
R, S T , :
.
. , , , .
, , , , .
, , .. , , .
. (, ) , :
1) a, b, c Î A :
2) , c:
3) ,
- .
.
. M N , N, .
. M N , , a, b Î M a , b Î N
= ab c = a b .
N .
. , , (.. a b ab = ba), .
. R , , , , , .. a, b Î R :