Достаточные условия разложения функции в степенной ряд.
Пусть дан степенной ряд 
, радиус сходимости которого R>0. Следовательно, в интервале сходимости ряд сходится к некоторой функции S(x), т.е.
S(x)= = 
Задача: Зная функцию S(x), найти коэффициенты 
соответствующего степенного ряда.
Степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз. Поэтому будем иметь:
, 
, 
Отсюда вытекает, что необходимым условием разложения функции f(x) в степенной ряд по степеням 
является бесконечная дифференцированность функции в точке 
, т.е
, где 
(1)
Степенной ряд в соотношении (1) называется рядом Тейлора функции f(x), а - коэффициенты ряда Тейлора. Если в степенном ряде (1) = 0, то ряд 
называется рядом Маклорена для функции f(x)
Однако существуют функции, которые бесконечно дифференцируемы в точке , но соответствующий степенной ряд сходится к f(x) только в одной точке и такие функции представлять степенным рядом не имеет смысла.
Для того, чтобы в соотношении (1) имею место равенство в некотором интервале 
функция f(x) кроме бесконечной дифференцируемости в точке должна удовлетворять дополнительным условиям.
Теорема 1. (Достаточные условия разложения функции в степенной ряд).
Если на отрезке 
все производные функции по модулю ограничены одним числом, 
, то f(x) разлагается в ряд Тейлора 
, который сходится к f(x) на отрезке
Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию у= 
.
Решение. Функция 
бесконечно дифференцируема на всей числовой оси и 
.
Имеем 
. По теореме 1 функция y= 
разлагается в ряд Маклорена, который на отрезке [- A, A ] сходится к данной функции.
, (-∞,+∞) (2)
Так как А- произвольное, то равенство (2) справедливо для любого 
Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию y=sinx.
Решение. y ’= cosx, y ’’=- sinx, y ’’’=- cosx, 
,…, следовательно 
и функция y=sinx разлагается в ряд Маклорена 
, который сходится к функции y=sinx. 
.
Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию y=cosx.
Решение.
. Функция y=cosx разлагается в ряд Маклорена, который сходится к функции y=cosx 
.
Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию y=ln(1+x)
Решение. Имеем: 
, где|x|<1. Полученное равенство почленно проинтегрируем 
|x|<1.
|x|<1.
Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию y=arctgx.
Решение. 
|x|<1. Полученное равенство почленно проинтегрируем при |x|<1. 
|x|<1.
|x|<1.
Пример 6. Разложить в ряд Маклорена функцию 
Решение. 
Можно доказать, что в общем случае последнее равенство справедливо при |x|<1.
Отметим, что при α натуральном последнее равенство справедливо , т.к. в левой и правой частях равенства будут многочлены.
Применение степенных рядов.
Пример 7. Вычислить sin1 с точностью 
=0,01.
Решение. Имеем. 
,при этом ошибка будет равна 
называется остатком ряда. является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Следовательно 
. Если 
<0.01, то 
<0,01. Подберем наименьшее n, для которого <0.01, n=2 
Следовательно, 
, причем ошибка будет меньше 0,01.
Пример 8. Вычислить 
с точностью =0,01.
Решение. Неопределенный интеграл 
не выражается в элементарных функциях, поэтому формулу Ньютона-Лейбница при вычислении данного интеграла применять нельзя.
Последнее равенство проинтегрируем почленно на отрезке [0, 
].
. Ошибка будет равна 
.
является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Следовательно 
. Если 
<0,01, то и <0,01. Для этого достаточно положить n=2. В самом деле, 
. 
. При этом ошибка будет меньше 0,01.
