Применение степенных рядов.

Достаточные условия разложения функции в степенной ряд.

       Пусть дан степенной ряд , радиус сходимости которого R>0. Следовательно, в интервале сходимости ряд сходится к некоторой функции S(x), т.е.

S(x)= =

       Задача: Зная функцию S(x), найти коэффициенты соответствующего степенного ряда.

       Степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз. Поэтому будем иметь:

, ,

Отсюда вытекает, что необходимым условием разложения функции f(x) в степенной ряд по степеням является бесконечная дифференцированность функции в точке , т.е

, где                                                                    (1)

Степенной ряд в соотношении (1) называется рядом Тейлора функции f(x), а - коэффициенты ряда Тейлора. Если в степенном ряде (1) = 0, то ряд называется рядом Маклорена для функции f(x)

Однако существуют функции, которые бесконечно дифференцируемы в точке , но соответствующий степенной ряд сходится к f(x) только в одной точке  и такие функции представлять степенным рядом не имеет смысла.

Для того, чтобы в соотношении (1) имею место равенство в некотором интервале функция f(x) кроме бесконечной дифференцируемости в точке  должна удовлетворять дополнительным условиям.

Теорема 1. (Достаточные условия разложения функции в степенной ряд).

Если на отрезке  все производные функции по модулю ограничены одним числом, , то f(x) разлагается в ряд Тейлора , который сходится к f(x) на отрезке

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию у= .

Решение. Функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси и .

Имеем . По теореме 1 функция y= разлагается в ряд Маклорена, который на отрезке [- A, A ] сходится к данной функции.

, (-∞,+∞)                                   (2)

Так как А- произвольное, то равенство (2) справедливо для любого

           

 

Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию y=sinx.

Решение. y ’= cosx, y ’’=- sinx, y ’’’=- cosx, ,…, следовательно  и функция y=sinx разлагается в ряд Маклорена , который сходится к функции y=sinx. .

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию y=cosx.

Решение.

. Функция y=cosx разлагается в ряд Маклорена, который сходится к функции y=cosx .

       Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию y=ln(1+x)

Решение. Имеем: , где|x|<1. Полученное равенство почленно проинтегрируем     |x|<1.

   |x|<1.

       Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию y=arctgx.

Решение.    |x|<1. Полученное равенство почленно проинтегрируем при |x|<1.  |x|<1.

 |x|<1.

       Пример 6. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение.

 Можно доказать, что в общем случае последнее равенство справедливо при |x|<1.

       Отметим, что при α натуральном последнее равенство справедливо , т.к. в левой и правой частях равенства будут многочлены.

Применение степенных рядов.

Пример 7. Вычислить sin1 с точностью =0,01.

Решение. Имеем.                      

,при этом ошибка будет равна

называется остатком ряда.  является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Следовательно . Если <0.01, то <0,01. Подберем наименьшее n, для которого <0.01, n=2 Следовательно, , причем ошибка будет меньше 0,01.

       Пример 8. Вычислить  с точностью =0,01.

Решение. Неопределенный интеграл  не выражается в элементарных функциях, поэтому формулу Ньютона-Лейбница при вычислении данного интеграла применять нельзя.

                         

     

       Последнее равенство проинтегрируем почленно на отрезке [0, ].

. Ошибка будет равна .

 является знакочередующимся рядом, который удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Следовательно . Если <0,01, то и <0,01. Для этого достаточно положить n=2. В самом деле, . . При этом ошибка будет меньше 0,01.