Множество точек на плоскости.

Лекция 1

           Тема: множество точек на плоскости. Область, ограниченная, замкнутая. Диаметр области. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла и его свойства. Теорема существования двойного интеграла.

Множество точек на плоскости.

 

         Определение 1: Окрестностью точки () на плоскости называется круг, с центром в точке  некоторого радиуса , который не содержит окружности, ограничивающей данный круг.

Окрестность точки  радиуса r обозначаем (,r). (,r) ={ +(

}.

Так как r– произвольное, то каждая точка М на плоскости имеет бесконечно много окрестностей.

           Определение 2: Множество Е точек на плоскости называется открытым, если каждая точка множества Е принадлежит Е вместе с некоторой окрестностью.

 

         Пример 1

Множество { +( < }, R>0 является открытым множеством.

 – есть круг с центром в точке ()  радиуса R.

         Определение 3: Точка М называется граничной точкой множества Е, если любая окрестность точки М содержит точки как принадлежащие Е, так и точки не принадлежащие Е.

         Определение 4: Совокупность всех граничных точек множества Е называется границей Е, и обозначается E

         Пример 2:   Границей множества  в примере 1 является окружность ={ +( =  }Заметим, что граница множества Е может принадлежать множеству Е, а может и не принадлежать множеству Е.

             

         Определение 5: Множество Е называется связным, если любые 2 точки Е можно соединить непрерывной кривой, которая полностью принадлежит Е.

         Множество { +( < }, R>0 является связным множеством, так как любые 2 точки  можно соединить отрезком полностью принадлежащим .

         Множество ={ +( < } { +( <1} не является связным, так как точки (1,1) и (5,1) нельзя соединить непрерывной кривой, полностью принадлежащей .

 

         Определение 6: Открытое связное множество называется областью.

         Определение 7: Множество Е называется замкнутым, если оно содержит свою границу. Замкнутое множество обозначается через .

         Примером замкнутой области является множество

{ +( } = т.е.

 

         Определение 8: Множество E называется ограниченным если существует круг с центром в начале координат радиуса R, 0<R< , который содержит множество Е.

         Рассмотренные ранее множества ,  и  являются ограниченными множествами.

Множество точек  =  = } не является ограниченными, так как  есть множество точек прямой.

 

         Определение 9: Диаметром области называется наибольшее расстояние между любыми двумя точками

 

         1.2 Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.

 

         Задача 1. Вычислить объем цилиндрического тела.

При решении поставленной задачи дадим определение цилиндрического тела и укажем способ вычисления объема цилиндрического тела.

         Определение 10: Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное замкнутой областью плоскости хоу, поверхностью z=f(x,y), где f(x,y) непрерывна и неотрицательна в , и цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси ОZ и направляющей D- границей D.

         В дальнейшем, будем предполагать, что ограничена и квадрируема.

         Мы будем использовать два известных свойства объема тела:

1) если тело разбить на конечное число частей не имеющих общих внутренних точек, то объем тела равен сумме объемов его частей.

2) Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

         Искомый объем цилиндрического тела обозначается через V. Область произвольным способом разобьем на n квадрируемых областей ,…, без общих внутренних точек. Данное разбиение обозначаем через Т, а через (Т) обозначим наибольший из диаметров частей разбиения.

         Через ,…, oбозначим площади соответствующих частей разбиения.

         В каждой из частей разбиения произвольным способом выберем по точке (x1;y1), ,…, .

         Через , 1 k n, проведем цилиндрическую поверхность с образующей параллельной ОZ. Таким образом данное цилиндрическое тело будет разбито на n частичных цилиндрических тел.

         Объем k-го цилиндрического тела будет приближенно равен

f() f() , а объем данного цилиндрического тела приближенно равен:

 

V

 

         За объем цилиндрического тела естественно принять предел последней суммы при условии, что (Т)  т.е.

V=

 

 

         Задача 2: Вычислить массу неоднородной плоской пластины в плоскости XOY с плотностью (х,у), (х,у)-непрерывна и не отрицательна в .  Будем предполагать что ограничена и квадрируема.

 

         Будем пользоваться следующими известными факторами. 

1) масса однородной пластинки равна где S–площадь

2) если разбить на конечное число квадратируемых частей, не имеющих общих внутренних точек, то масса равна сумме масс частей.

         Область произвольным способом разобьем на n квадрируемых областей ,…, без общих внутренних точек.

         Данное разбиение обозначим через Т, а через (Т) обозначим наибольший из диаметров частей разбиения.

         Через ,…,  обозначим площади соответствующих частей разбиения.

         В каждой из частей разбиения произвольным способом выберем по точке , ,…, .

         Будем считать, что плотность к-той части разбиения равна , тогда масса пластинки будет приближенно равна m

         За массу пластинки естественно принять

 

         К отысканию пределов подобных сумм приводят многие другие задачи. Поэтому отвлекаясь от конкретных задач рассмотрим вопрос в общем виде.