Пример 1.
Задана прямая круговая коническая поверхность Ф и прямая l. Определить точки К1 и К 2 пересечения прямой l с конической поверхностью Ф.
l È Т, l º h Þ T ‖ П1 Þ Т2 º l 2
T ∩ Ф = m Þ Т2 º l 2 ≡ m 2
m – окружность
Строится m 1. m Ì Т Þ m ‖ П1 Þ m 1 – окружность
Определяем точки(К11, К21) = m 1 ∩ l 1
Строим фронтальные проекции (К 1 2, К 2 2) Î l 2
Пример 2.
Задан наклонный эллиптический конус Ф и прямая l. Определить точки M и N пересечения прямой l с поверхностью конуса Ф.
l È a
При заданном положении прямой можно получить
только одно простое сечение в виде двух прямых при условии, что секущая плоскость пройдет через вершину конуса.
Следовательно a (l, F)
Такой вариант задания плоскости неудобен. Поэтому зададим плоскость двумя пересекающимися прямыми: a (F, A) и b (F, A). Точки А и В – произвольные точки, принадлежащие прямой l.
a (l, F) ® a (a, b), (a ∩ b = F, a ∩ l = A, a ∩ l = B)
Плоскость, которой принадлежит основание конуса d, обозначим β.
d Ì b, b ^ П2 Þ b 2 º d 2
Строим проекции линии m пересечения плоскости a и плоскости основания b конуса Ф.
Для этого находим точки пересечения 1 и 2 прямых a и b с плоскостью основания b конуса, и соединяем их прямой m.
a ∩ b = m, m (1,2), a ∩ b = 1, b ∩ b =2
Отмечаем точки 3 и 4 пересечения прямой m и линии очерка основания d конуса Ф.
m ∩ d = { 3,4 }
Строим проекции линии пересечения плоскости a и конической поверхности Ф.
Для этого соединяем вершину конуса F с точками 3 и 4.
a ∩ Ф = (F 3, F 4) F 3 º g 1 F 4 º g 2
Отмечаем точки M и N пересечения прямой l с построенными образующими F 3 и F 4.
M = F 3∩ l, N = F 4∩ l
Пересечение прямой линии с цилиндрической поверхностью
Задан наклонный эллиптический цилиндр Ф и прямая l. Определить точки К1 и К2 пересечения прямой l с поверхностью конуса Ф.
l È a
При заданном положении прямой можно получить только одно простое сечение в виде двух прямых при условии, что секущая плоскость пройдет параллельно образующим цилиндра. Следовательно
a (a,b), a ‖ b ‖ g; a ∩ l = A; b ∩ l = B
А, В – произвольные точки
Строим линию m пересечения плоскости a и плоскости основания b цилиндра Ф. Для этого находим точки пересечения прямых a и b с плоскостью основания b конуса Ф, и соединяем их прямой m.
a ∩ b = m, m (C, D), C = a ∩ b, D = b ∩ b
Отмечаем точки E и L пересечения прямой m и линии очерка основания d конуса Ф.
m ∩ d = { L, E }
Строим линии пересечения плоскости a и цилиндрической поверхности. Для этого через точки L и E проводим прямые g 1 и g 2 параллельно образующим цилиндрической поверхности.
a ∩ Ф = (g 1, g 2); E Î g 1; L Î g 2
Отмечаем точки К1 и К2 пересечения прямой l с построенными образующими g 1 и g 2.
