Пересечение прямой линии с конической поверхностью

Пример 1.

Задана прямая круговая коническая поверхность Ф и прямая l. Определить точки К¹ и К ² пересечения прямой l с конической поверхностью Ф.

l È Т, l º h Þ T ‖ П₁ Þ Т₂ º l ₂

T ∩ Ф = m Þ Т₂ º l ₂ ≡ m ₂

m – окружность

Строится m ₁. m Ì Т Þ m ‖ П₁ Þ m ₁ – окружность

Определяем точки(К¹₁, К²₁) = m ₁ ∩ l ₁

Строим фронтальные проекции (К ¹ ₂, К ² ₂) Î l ₂

 

 

Пример 2.

Задан наклонный эллиптический конус Ф и прямая l. Определить точки M и N пересечения прямой l с поверхностью конуса Ф.

l È a

При заданном положении прямой можно получить

только одно простое сечение в виде двух прямых при условии, что секущая плоскость пройдет через вершину конуса.

Следовательно a (l, F)

Такой вариант задания плоскости неудобен. Поэтому зададим плоскость двумя пересекающимися прямыми: a (F, A) и b (F, A). Точки А и В – произвольные точки, принадлежащие прямой l.

a (l, F) ® a (a, b), (a ∩ b = F, a ∩ l = A, a ∩ l = B)

Плоскость, которой принадлежит основание конуса d, обозначим β.

d Ì b, b ^ П₂ Þ b ₂ º d ₂

 

Строим проекции линии m пересечения плоскости a и плоскости основания b конуса Ф.

Для этого находим точки пересечения 1 и 2 прямых a и b с плоскостью основания b конуса, и соединяем их прямой m.

a ∩ b = m, m (1,2), a ∩ b = 1, b ∩ b =2

Отмечаем точки 3 и 4 пересечения прямой m и линии очерка основания d конуса Ф.

m ∩ d = { 3,4 }

Строим проекции линии пересечения плоскости a и конической поверхности Ф.

Для этого соединяем вершину конуса F с точками 3 и 4.

a ∩ Ф = (F 3, F 4) F 3 º g ¹ F 4 º g ²

Отмечаем точки M и N пересечения прямой l с построенными образующими F 3 и F 4.

M = F 3∩ l, N = F 4∩ l

Пересечение прямой линии с цилиндрической поверхностью

Задан наклонный эллиптический цилиндр Ф и прямая l. Определить точки К¹ и К² пересечения прямой l с поверхностью конуса Ф.

l È a

При заданном положении прямой можно получить только одно простое сечение в виде двух прямых при условии, что секущая плоскость пройдет параллельно образующим цилиндра. Следовательно

a (a,b), a ‖ b ‖ g; a ∩ l = A; b ∩ l = B

А, В – произвольные точки

Строим линию m пересечения плоскости a и плоскости основания b цилиндра Ф. Для этого находим точки пересечения прямых a и b с плоскостью основания b конуса Ф, и соединяем их прямой m.

a ∩ b = m, m (C, D), C = a ∩ b, D = b ∩ b

Отмечаем точки E и L пересечения прямой m и линии очерка основания d конуса Ф.

m ∩ d = { L, E }

Строим линии пересечения плоскости a и цилиндрической поверхности. Для этого через точки L и E проводим прямые g ¹ и g ² параллельно образующим цилиндрической поверхности.

a ∩ Ф = (g ¹, g ²); E Î g ¹; L Î g ²

Отмечаем точки К¹ и К²  пересечения прямой l с построенными образующими g ¹  и g ².