Электромагнитная индукция, энергия магнитного поля

 

                                               Вариант 7

Дано: B; m; l; x0 = 0; v 0 = 0; I0L = 0;  Q0C =0 / dx/dt =? В начальный момент t0 времени, т.е. при t0 = 0, ток I0 силой черезперемычку (рис.8.1) 1-2 равен нулю, т.к. начальныйток I0 L силой через индуктивность L0 и заряд Q0 C на конденсаторе C0 ёмкостью в начальный момент t0 времени равны нулю. Поэтому в начальный момент t0 времени, когда начальная x0 координата равна нулю, векторсилы FА Ампера (7.75) из раздела 7.1 "Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях" равен нулю и на 1-2 перемычку (рис.8.1) действует только вектор mg силы тяжести, под действием которого 1-2 перемычка l длиной движется вниз и в произвольный момент t времени в начале своего движения имеет вектор v скорости. Магнитный Ф m поток (7.17) из раздела 7.1 " Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях"

                                                       

 

пересекающий контур: 1-2 перемычка l длиной, катушка L₀ индуктивности с включённым параллельно конденсатором C₀ ёмкостью, увеличивается, поэтому dФ _m/ dt > 0. Вектор p_mi магнитного момента (рис. 8.1)   индукционного тока I_i силой (рис.8.2) из раздела 8.0 " Электромагнитная индукция.Уравнения Максвелла для электромагнитного поля" согласно правилу Ленца коллинеарен вектору B индукции внешнего магнитного поля и направлен в противоположную ему сторону. Вектор p_mi магнитного момента индукционного тока I_i силой направлен перпендикулярно чертежу и на наблюдателя, поэтому этот индукционный (рис.8.1) ток I_i силой и ЭДС индукции Ε _i12 (8.6)из раздела 8.0 " Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля " в 1-2 перемычке направлены против часовой стрелки по правилу "правого винта".   

       Вследствие перпендикулярности вектора v скорости   движения 1-2 перемычки l длиной вектору B индукции внешнего магнитного поля ЭДС индукции (8.6)из раздела 8.0  "Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля " в 1-2 перемычкеимеет следующее значение без учёта знака, поскольку направление этой ЭДС индукции Ε _i12 значением определено на  рис.8.1 согласно правилу Ленца:                                Ε _i12 = B v l. (1.1)     Направим ток I_L, I_C силой (рис.8.1) соответственно через катушку L₀   индуктивности и конденсатор C₀ емкостью по " часовой стрелке". ЭДС самоиндукции Ε _L значением (8.13) из раздела 8.0   "Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля " на катушке L₀ индуктивности и (6.39) из раздела 6.0 "Электрический ток" U_C напряжение на конденсаторе C₀ емкостьюв произвольный момент t времени имеет следующий вид:                          t                                    Ε _L = - L₀ (dI_L / dt); U_C = q/ C₀ ↔ dU_C/ dt = (1/ C₀) dq/ dt ↔ dU_C/ dt = (1/ C₀) I_C ↔ U_C =   (1/ C₀)∫ I_Cdt.        (1.2)                   

                                                                                                                              0                      С учётом ЭДС индукции Ε _i12 значением (1.1) в 1-2 перемычки l длиной, принимающее отрицательное значение, т.к. направление этой ЭДС индукции Ε _i12 противоположно направлению обходов I и II контуров, с учётом (1.2) ЭДС самоиндукции Ε _L значением и U_C напряжения на конденсаторе C₀ емкостьюв произвольный момент t времени II закон Кирхгофа для этих                    I и II контуров (рис.8.1)с обходом их по " часовой стрелке" принимает следующий вид:                                                                  t

                    (I): - Ε _i12  = U_C ↔ B v l = - (1/ C₀)∫ I_Cdt ↔ d v / dt = - I_C/ BlC₀ ↔ I_C = - BlC₀ (d²z/ dt²).                 (1.3)                                                           0                                                                                                            (II): - Ε _i12 + Ε _L = 0 ↔ B v l =- L₀ dI_L / dt ↔ I_L = - (Bl/ L₀) ∫ v dt ↔ I_L = - Blz/ L₀ .                          (1.4)

                                                                                                                   0                

       С учётом входящих в III узел токов I_i, I_C (1.3) и I_L (1.4) силой соответственно индукционного, через конденсатор C₀ емкостью и катушку L₀ индуктивности, а также с учётом равенства нулю выходящих из III узла токов I закон Кирхгофа для этого III узла принимает следующий вид:

                                 (III): I_i + I_C + I_L = 0 ↔ I_i = BlC ₀ (d ² z / dt ²) + Blz / L ₀                                             (1.5)       Вектор F _А силы Ампера, приложенной к 1-2 перемычке l длиной, с учётом (7.75)  из раздела 7.1 " Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях " силы d F _А Ампера, действующей на 1-2 перемычку с силой индукционным током I_i силойи  малой dl длиной, а также с учётом определения вектора d l (7.1) из раздела 7.1 " Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях " малой 1-2 перемычки l длиной, имеет следующий вид:  2        2          2                                2                                                                      F_А  = ∫ d F _А = I_i∫ [ d l, B] = I_i∫ [ ( j _i/ j_i), B] dl = I_i [ ( j_i / j_i), B] ∫ dl = I_i [ ( j_i / j_i, B] l,    (1.6)                                            1    1    1                                  1               

  где j_i - вектор (рис. 8.1) плотности индукционного тока I_i силой, имеющий неизменное направление в сторону этого индукционного тока I_i по прямой 1-2 перемычке l длиной; j_i / j_i - единичный вектор, коллинеарный вектору j_i (рис.8.1) из раздела 8.0 " Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля " плотности индукционного тока I_i силой и направленный по прямой 1-2 перемычке l длиной в сторону этого индукционного тока I_i силой.

       С учётом противоположного направления вектора F _А силы Ампера OZ оси, а также с учётом перпендикулярности j_i / j_i единичного вектора вектору B индукции внешнего магнитного поля, вследствие чего векторное произведение (1.6) [ ( j_i / j_i), B] есть вектор, направленный в противоположную OZ оси сторону и имеющий модуль, равный модулю B вектора B индукции внешнего магнитного поля, проекция II закона Ньютона на OZ осьдля движения 1-2 перемычки     

 m массой имеет следующий вид:                                OZ: m(d² z/ dt²) = F_{А Z} + mg = - I_iBl + mg.   (1.7)       Подставляем выражение индукционного тока I_i из (1.5) в (1.7) и после тождественных преобразований получаем следующее дифференциальное неоднородное линейное уравнение         2 - го порядка:                                   (d² z/ dt²) + [ B² l²/ L₀ (m + B² l² C₀)] z = mg/(m + B² l² C₀).  (1.8)       Общее z₁(t) решение дифференциального (1.8) однородного линейного уравнения                  2 - го порядка совпадает со следующим решением дифференциального однородного линейного уравнения 2 - го порядка для гармонических (2.7) из раздела 2.0 " Колебания и волны " колебаний пружинного маятника:                                                                                 z₁(t) = Acos(ω₀ t+ φ₀),    (1.9) где ω₀ = [ B² l²/ L₀ (m + B² l² C₀)]^1/2, 1/с - циклическая частота гармонических колебаний 1-2 перемычки по двум гладким медным шинам; A; φ₀ - соответственно амплитуда и начальная фаза этих колебаний.                                       

       Частное z₂(t) решение дифференциального (1.8) неоднородного линейного уравнения           2 - го порядка совпадает с решением дифференциального неоднородного линейного уравнения            2 - го порядка для гармонических (2.61) из раздела 2.0 " Колебания и волны " установившихся вынужденных колебаний  и с учетом равенства нулю Ω циклической частоты внешней периодической силы, а также равенства нулю β коэффициентзатуханияколебаний 1-2 перемычки по двум гладким медным шинам имеет следующий вид:                                 z₂(t) = A_в cos(Ω t+ φ₀), (1.10) где A_в = mg/[(m + B² l² C₀) (cosΩ t)][(ω₀² - Ω²)² + 4β² Ω²]^1/2 = mg/(m + B² l² C₀) ω₀² =

= mgL₀(m + B² l² C₀)/(m + B² l² C₀) B² l² = mgL₀/ B² l²; tgφ₀ = - 2β Ω/(ω₀² - Ω²) ^↔ φ₀ = 0 - соответственно амплитуда A_в и φ₀ в z₂(t) частном (1.10) при Ω = 0 и β = 0 решении дифференциального (1.8) неоднородного линейного уравнения 2 - го порядка. Вследствие этого   z₂(t) частное (1.10) решение принимает следующий вид:                                                      z₂(t) = A_в ↔   z₂(t) = mgL₀/ B² l²,         (1.11) т.е. z₂(t) частное (1.11) решение дифференциального (1.8) неоднородного линейного уравнения 2 - го порядка представляет собой (рис.8.1) статическое смещение 1-2 перемычки относительно нуля координат по OZ оси под действием вектора m g силы тяжести.

       Общее z(t) решение равно следующей сумме общего (1.9) z₁(t)  и частного (1.11) z₂(t) решений дифференциального (1.8) неоднородного линейного уравнения 2 - го порядка:         

                                            z(t) = z₁(t) + z₂(t) = Acos(ωt+ φ₀) + A_в = Acos(ωt+ φ₀) + mgL₀/ B² l².     (1.12)       Уравнение зависимости проекции dz/ dt скорости 1-2 перемычки по OZ оси от t временис учётом (1.12) имеет следующий вид:                                              dz/ dt = - Aωsin(ωt+ φ₀).      (1.13)     В начальный момент t₀ времени, т.е. при t₀ = 0, z₀ координата и dz/ dt| _{t0 = 0} скорость

1-2 перемычки равны нулю.

       Согласно (2.5) из раздела 2.0 " Колебания и волны " постоянные величины

A и φ₀ соответственно амплитуды и начальной фаза гармонических колебаний определяются из начальных условий при t₀ = 0, вследствие чего с учётом (1.12), (1.13) для этих начальных амплитуды и фазы колебаний имеют место следующие выражения:  

       z₀ = Acosφ ₀ + mgL₀/B²l²                     0 = Acos φ ₀ + mgL₀/B²l²      ↔ φ ₀ = π   ↔ A = mgL₀/B²l².        (1.14)       

       v _0Z = (dz/dt) _{t0 = 0} = - Aωsinφ ₀    ↔  0 = - Aωsin φ ₀                                                                                 С учётом (1.13) A и φ ₀ соответственно амплитуды и начальной фаза гармонических колебаний уравнения z(t) координаты и dz/dt скорости колебаний 1-2 перемычки по OZ оси имеют следующий вид:                                                  z(t) = mgL₀/B²l²[cos(ωt + π) + 1] ↔ z(t) = mgL₀/B²l²(1 - cosωt).

                                                 dz/dt = -(ωmgL₀/B²l²) sin(ωt+ π)   ↔ dz/dt = (ωmgL₀/B²l²) sinωt.   (1.15)

       Таким образом, (рис. 08.1.1) перемычка 1-2 совершает гармонические колебания с (1.9) циклической ω₀ = [ B² l²/ L₀ (m + B² l² C₀)]^1/2, 1/с частотой относительно (1.12) статического

A_в = mgL₀/ B² l², м смещения по OZ оси c (1.14) A = mgL₀/ B² l² амплитудой, равной этому статическому A_в смещению.

 

                                                                         Задача 1

	A
			Точечный q заряд (риc.8.2) движется с нерелятивистским постоянным значением модуля v вектора v скорости в направлении OY оси. Точка A находится на Ок окружности, плоскость которой перпендикулярна OY оси. Определить выражение вектора H напряжённости магнитного поля в A точке, как функцию R радиуса - вектораэтой A точки и вектора v скорости q заряда. Дано: R; v / H =?

D

       Согласно уравнению Максвелла (8.82) из раздела 8.0 "Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля " в интегральном виде, которое называется законом полного тока, циркуляция вектора H напряжённости магнитного поля по (рис.8.2) контуру l длиной равна при отсутствии тока проводимости первой производной по t времени от N_D   потока вектора D электрического смещения через поверхность S площадью, которую ограничивает этот контур l длиной, вследствие чего для этой циркуляции вектора H напряжённости магнитного поля имеет место следующее выражение:                                  ∫ H d l = ∂ N_D/∂ t = (∂/∂ t)∫ D d S.  (2.1)                                                                                        l                           S

       Поверхность S площадью представляет собой сферическую поверхность шарового сегмента, в основании которого находится круг (рис.8.2) с a радиусом. На окружности a радиуса находится рассматриваемая в задаче A точка, которая одновременно находится на сферической поверхности    R радиусом и центром в O начале координат, где начальный момент t₀ = 0  времени находится точечный q заряд.

    Электростатическое поле, создаваемое точечным q зарядом (рис.5.8) из раздела 5.1 " Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля " будет сферическим векторным полем. Вектор D электрического смещения электростатического поля (5.87) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля "  в вакууме в любой точке проходит через центр сферы, а проекция D _r на направление радиуса - вектора R, направленного из O начала координат, где в данный момент t времени находится точечный q заряд, в  рассматриваемую на сферической поверхности шарового сегмента точку постоянна по величине и знаку.  Поэтому проекция D _r вектора

D электрического смещения электростатического поля  от точечного q заряда (рис.8.2) на сферической поверхности R радиусом согласно  теореме   Гаусса (5.89) из раздела 5.2 " Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " имеет следующий вид: ∫ D d S = ∫ D _r dS = q ↔ D _r4 πR² = q ↔ D _r= q/4 πR²,  (2.2)                                                                     S₀     S₀

где S₀ = 4 πR² - площадь поверхности сферы R радиусом, которая охватывает точечный q заряд.

       Поток dN_D  вектора D электрического смещения электростатического поля через элементарную поверхность dS площадью (рис.8.2) шарового пояса с учётом значения (2.2) проекции     D _r вектора D электрического смещения электростатического поля  от точечного q заряда имеет следующий вид:               dN_D = D d S = D _r dS = (q/4 πR²)2 πR(sinα′) Rdα′ = (q/2)(sinα′) dα′,     (2.3)

где dr =   R dα′ - ширина шарового пояса с элементарной поверхностью dS площадью; r = R(sinα′) -   радиус шарового пояса с элементарной поверхностью dS площадью; α′ - угол шарового пояса относительно OY оси, значение которого изменяется от 0 до α.     

       Поток dN_D  вектора D электрического смещения электростатического поля через элементарную поверхность dS площадью (рис.8.2) шарового пояса является элементом N_D потока    вектора D электрического смещения электростатического поля  на п оверхности S площадью шарового сегмента, поэтому этот N_D поток имеет следующий вид:                                                                                                                       α                                 α

                                      N_D = ∫ D d S = ∫D _rdS = (q/2)∫(sinα ′)dα ′ = - (q/2)cosα ′| = (q/2)(1 - cosα), (2.4)

                                          S     S                 0                                 0

где α  - угол шарового сегмента относительно OY оси;   S - площадь поверхности шарового сегмента.

       Первая производная по t времени от N_D   потока (2.4) вектора D электрического смещения через поверхность S площадью шарового сегмента с учётом и правила дифференцирования функции от функции имеет следующий вид: ∂ N_D/∂ t = (∂/∂ t)∫ D d S = (∂/∂ t)[(q/2)(1 - cosα)] = (q/2)(sinα)(dα/ dt).   (2.5)                                                                  S

Элементарное dl перемещение (рис. 8.3) по OY оси за dt малоеприращение времени точечного q заряда, двигающегося с модулем v вектора v скорости в направлении OY оси имеет следующий вид:                                                                                  dl = v d t = Rdα/ sinα ↔ dα/ dt = v sin α/ R,        (2.6) где Rdα = dR - длина катета, противолежащего в прямоугольном треугольнике элементарному dα приращению α угла. Это элементарное dα приращение α угла равно разности α1 - α0 углов между R1 радиусом - вектором, направленным из положения точечного q заряда через

 

малое приращение dt времени, когда точечный q заряд переместится по OY оси на элементарное dl перемещение, и R₀ радиусом - вектором, направленным из O начала координат, где в t₀ = 0 начальный момент времени находится этот точечный q заряд. Вследствие малого dα приращения   α угла модули    R₀ и R₁ радиусов - векторов равны R величине в (2.6) выражении.

       Подставляем (2.6) выражение первой производной по t времени от α угла в   (2.5) и получаем следующее выражение первой производной по t времени от N_D   потока вектора D электрического смещения через (рис.8.3) поверхность S площадью шарового сегмента, как функцию модуля v вектора v скорости перемещение по OY оси точечного q заряда и α угла между R радиусом - вектором, направленным от этого точечного q заряда в A точку на шаровом сегменте, где по условию задачи требуется определить вектор H напряжённости магнитного поля:                                                                                                               ∂ N_D/∂ t = (∂/∂ t)∫ D d S = (q/2)(sinα) v sin α/ R = (q v /2 R) sin²α,         (2.7)                                                                           S

где R - модуль радиуса - вектора R, направленным от точечного q заряда в A точку на шаровом сегменте, где по условию задачи требуется определить вектор H напряжённости магнитного поля.

       Циркуляция (2.1) вектора H напряжённости магнитного поля по (рис.8.3) контуру

l длиной, который представляет собой Ок окружность с a радиусом, с учётом направления этого вектора H напряжённости магнитного поля по касательной к контуру l длиной и постоянства

H модуля вектора H напряжённости магнитного поля в любой точке этого контура l длиной, имеет следующий вид:                                                                                         ∫ H d l = Н2 πa= Н2 πRsinα. (2.8)                                                                                                               l

       Приравниваем  (2.8) циркуляцию   вектора H напряжённости магнитного поля по (рис. 08.1.3) контуру l длиной (2.7) первой производной по t времени от N_D   потока вектора D электрического смещения через поверхность S площадью, которую ограничивает этот контур l длиной, и получаем следующее выражение для модуля H вектора H напряжённости магнитного поля в любой точке контура l длиной, как функцию модуля v вектора v скорости перемещение по OY оси точечного q заряда и α угла между радиусом - вектором R, направленным от этого точечного q заряда в произвольную     A точку на контуре l длиной:                  

             

                     ∫ H d l = ∂N_D/∂t = (∂/∂t)∫ D d S ↔ Н 2πRsinα = (q v /2R)sin² α ↔ Н =   q v Rsin α /4πR³.       (2.9)

                 l                                S

       Выражению (2.9) для модуля H вектора H напряжённости магнитного поля в любой точке контура l длиной соответствует следующее выражение для вектора H напряжённости магнитного поля, как функция векторного произведения вектора v скорости перемещение (рис. 08.1.3) по

OY оси точечного q заряда и R радиуса - вектора, направленного от этого точечного q заряда в произвольную A точку на этом контуре l длиной:

                                                      Н =   q v Rsin α /4πR³ ↔ Н =   q [ v R] /4πR³ ↔ B = μ ₀ q [ v R] /4πR³,       (2.10)

где   B = μ₀ Н - связь в вакууме (7.95) из раздела 7.2 " Магнитное поле в веществе " вектора H напряжённости магнитного поля с   вектором B магнитной индукции в произвольной точке пространства.                            

       Выражение (2.10) полностью соответствует выражению (7.7) из раздела 7.1 " Магнитное поле в вакууме. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях " вектора B_q магнитной индукции в данной M точке, возбуждаемого в вакууме электрически заряженной частицей с q зарядом, которая движется с постоянным вектором v скорости, малой по сравнению со скоростью света (v << с).

 

                                                             Задача 2

 

    Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено слабо проводящей средой с ρ удельным сопротивлением и ε диэлектрической проницаемостью. В некоторый момент времени заряд на внутренней сфере равен q₊ . Найти: а) связь между векторами плотностей токов j проводимости и j _см смещения; б) силу I_см тока смещения в этот некоторый момент времени через произвольную поверхность в слабо проводящей среде, охватывающую внутреннюю сферу. Дано: ρ; ε; q / j = f(j _см) =? I_см=?

 

Электрическое поле (рис.8.4) между концентрическими металлическими сферами, заполненное слабо проводящей средой с ρ удельным сопротивлением и ε диэлектрической проницаемостью, является сферическим векторным полем. Векторы (рис.8.4) E напряженности(5.3) из раздела 5.1 "Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля"  и D = ε0εE электрического смещения (5.87) из раздела 5.2

 

"Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" в этом электрическом поле проходят через центр концентрических металлических сфер, а проекции E_r, D_r на направление r радиуса - вектора  векторов соответственно E напряжённости, D электрического смещения этого электрического поля, являющееся сферическим векторным полем, является функцией r расстояния от центра сферы. Поток N _D вектора D электрического смещения через воображаемую сферическую (рис.8.4) поверхность

S_r площадью, согласно (5.118) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" имеет следующий вид:                                N _D = ∫ D d S = ∫ D_n dS = ∫ D_r dS = D_r4π r² = q ↔ D_r = q/4π r²,           (3.1)                                                               (S_r)    (S_r)           (S_r)

где q - заданный в условии задачи свободный   заряд внутренней сферы в некоторый момент времени, охватываемый воображаемой сферической поверхностью S_r = 4πr² площадью.

       Согласно уравнению Максвелла (8.77) из раздела 8.0 "Электромагнитная индукция. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля " вектор j_см плотности тока смещения связан следующим соотношением с изменяющимся во t времениэлектрическим полем с вектором D электрического смещения:                                                                                              j_см   = ∂ D /∂ t.            (3.2)        Электрическое поле (рис.8.4) между концентрическими металлическими сферами, заполненное слабо проводящей средой с ρ удельным сопротивлением и ε диэлектрической проницаемостью, является сферическим векторным полем, поэтому вектор   D электрического смещения имеет только одну проекцию, отличную от нуля, - это D_r проекция на направление r радиуса - вектора.

       Согласно (3.2) проекция j_rсм на направление r радиуса - вектора вектора j_см плотности тока смещения имеет следующий вид:                                                                             j_rсм = ∂ D_r/∂ t.           (3.3)        Подставляем (3.1) проекцию D_r на направление r радиуса - вектора вектора   D электрического смещения в (3.3) и получаем следующее выражение проекции j_rсм на направление r радиуса - вектора вектора j_см плотности тока смещения:                                                     j_rсм = (1/4π r²) dq/ dt,         (3.4) где j_rсм   - проекцияна направление r радиуса - вектора вектора j_см плотности тока смещения имеет численное отрицательное значение, если dq < 0, т.е. если (рис.6.2) из раздела 6.0 " Электрический ток " (рис.8.4) внутренняя сфера является "истоком" свободных зарядов; j_rсм   - проекцияна направление r радиуса - вектора вектора j_см плотности тока смещения имеет численное положительное значение, если dq > 0, т.е. если (рис.6.3) из раздела 6.0 " Электрический ток " (рис.8.4) внутренняя сфера является "стоком" свободных зарядов.

       Сила I тока  сквозь (рис.6.2), (рис.6.3) из раздела 6.0 " Электрический ток " (рис. 8.4) воображаемую замкнутую поверхность S_r площадью в слабо проводящей среде имеет (6.8) из раздела 6.0 " Постоянный электрический ток " следующий вид:                        I =  - dq/ dt,          (3.5) Согласно (6.19) из раздела 6.0 " Электрический ток " закону Ома для однородного участка цепи в дифференциальном виде вектор j плотности   электрического тока связан следующим соотношением с вектором E напряжённости электрического поля:                             j = σ E.    (3.6)    Электрическое поле (рис.8.4) между концентрическими металлическими сферами, заполненное слабо проводящей средой с ρ удельным сопротивлением и ε диэлектрической проницаемостью, является сферическим векторным полем, поэтому вектор   E напряжённости электрического поля имеет только одну проекцию, отличную от нуля, - это E_r проекция на направление r радиуса - вектора. Поскольку согласно (3.6) вектор j плотности   электрического тока коллинеарен и направлен в одну сторону с вектором   E напряжённости электрического поля, то этот вектор j плотности   электрического тока имеет тоже только одну проекцию, отличную от нуля, - это j_r проекция на направление r радиуса - вектора, котораяс учётом (3.4) имеет следующий вид:

                                                                                                     j_r = I/ S_r = I/4π r² = - (1/4π r²) dq/ dt, (3.7) где S_r = 4π r² -   площадь воображаемой сферической поверхности между концентрическими металлическими сферами, охватывающей заданный в условии задачи свободный   заряд внутренней сферы в некоторый момент времени; j_r   - проекцияна направление r радиуса - вектора j плотности   электрического тока имеет численное положительное значение, если dq < 0, т.е. если (рис.6.2) из раздела 6.0 " Постоянный электрический ток " (рис.8.4) внутренняя сфера является "истоком" свободных зарядов; j_r   - проекцияна направление r радиуса - вектора вектора j_см плотности электрического тока имеет численное отрицательное значение, если dq > 0, т.е. если (рис.6.3) из раздела 6.0 " Постоянный электрический ток " (рис.8.4) внутренняя сфера является "стоком" свободных зарядов.

       Согласно (3.4), (3.7) проекции j_rсм,   j_r  на направление r радиуса - вектора векторов

Jсм,  j плотностей соответственно тока смещения, электрического тока равны по величине и противоположны по знаку. Других проекций у векторов этих плотностей тока нет, поэтому векторы

  j_см,   j плотностей соответственно тока смещения, электрического тока являются коллинеарными векторами и направлены в противоположные стороны, т.е. векторы   j_см,   j плотностей соответственно тока смещения, электрического тока связаны между собой следующим соотношением:                                                                                                                  j  = - j_см.         (3.8)

       На рис. 8.4 векторы изображены для случая, когда в некоторый момент времени q заряд на внутренней сфере уменьшается во времени, т.е. (рис.6.2) из раздела 6.0 " Электрический ток " внутренняя сфера является "истоком" свободных зарядов, а dq < 0. Поэтому (3.7) в некоторый момент времени j_r  проекцияна направление r радиуса - вектора вектора j плотности   электрического тока имеет численное положительное значение, а этот (рис. 8.4) вектор j плотности   электрического тока коллинеарен r радиусу- вектору и направлен с ним в одну сторону. Тогда согласно (3.8) вектор   j_см плотности тока смещения (рис. 8.4) и r радиус- вектор являются коллинеарными векторами и направлены в противоположные стороны.

       Проекция j_r на направление r радиуса - вектора вектора   j плотности   электрического токас учётом (3.6) имеет следующий вид:                                                          j_r = E_r/ρ = D_r/ ε₀ερ.      (3.9)

       Подставляем (3.1) проекцию D_r на направление r радиуса - вектора вектора   D электрического смещения в (3.9) и получаем следующее выражение проекции j_r на направление r радиуса - вектора вектора j плотности электрического тока:                                                     j_r = q/4π r² ε₀ερ,       (3.10)

       Согласно (3.8) проекция j_rсм на направление r радиуса - вектора вектора j_см плотности тока смещения с учётом выражения (3.9) имеет следующий вид:                        j_rсм = - q/4π r² ε₀ερ,       (3.11)

где ρ = 1/σ - удельное сопротивление   слабо проводящей среды между концентрическими металлическими сферами, равное обратной величине σ удельной проводимости этой среды;

ε - диэлектрическая проницаемость среды между концентрическими металлическими сферами; знак

 "-" в (3.10) учитывает численное отрицательное значение проекции j_rсм на направление r радиуса - вектора вектора j_см плотности тока смещения в случае (рис.8.4) численного положительного значения q заданного в условии задачи свободного   заряда на внутренней сферы в некоторый момент времени; в случае   численного отрицательного значения q заданного в условии задачи свободного   заряда на внутренней сферы в некоторый момент времени проекция j_rсм на направление r радиуса - вектора вектора j_см плотности тока смещения имеет положительное значение.

       Сила I_см тока   смещения сквозь (6.8) из раздела 6.0 " Электрический ток "

с учётом выражения (3.11) и перпендикулярности (рис. 08.1.4) вектора j_см плотности тока смещения воображаемой замкнутой поверхность S_r= 4π r² площадью в некоторый момент времени имеет следующий вид:                   I_см = ∫ j_см d S = ∫ j_rсм dS = - q/4π r² ε₀ερ ∫ dS = - q4π r²/4π r² ε₀ερ=- q/ ε₀ερ,      (3.12)                                      (S_r)     (S_r)                        (S_r)

где j_rсм = - q/4π r² ε₀ερ -проекция j_rсм на направление r радиуса - вектора вектора j_см плотности тока смещения вынесена в (3.12) за знак интеграла вследствие того, что эта j_rсм проекция на всей воображаемой замкнутой поверхности S_r= 4π r² площадью постоянна по величине; знак "-" в (3.12) учитывает противоположное направление  силы I_см тока смещения r радиусу - вектору в случае

(рис.8.4) численного положительного значения q₊  заданного в условии задачи свободного   заряда на внутренней сферы в некоторый момент t времени; в случае   численного отрицательного значения

q заданного в условии задачи свободного   заряда на внутренней сферы в некоторый момент времени сила I_см тока смещения имеет одинаковое направление с r радиусом - вектором.

 

Задача 3

 

       В некоторой области K(x, y, z, t) неподвижнойинерциальной системы   отсчёта (ИСО) имеется только электрическое поле, вектор E напряжённости которого находится в OXY плоскости и зависит от x, y координат согласноследующему уравнению: E = a(x i + y j)/(x² + y²), где a В - постоянная. Определить выражение вектора B′ индукции магнитного поля в K′(x′, y′, z′, t′) подвижной инерциальной системе отсчёта (ИСО), которая с нерелятивистским значением v модуля v вектора скорости перемещается относительно K(x, y, z, t) неподвижной   ИСО в направлении OZ оси. Какой графический вид имеет векторное поле B ′ индукции магнитного поля в K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО?

Дано: E = a(x i + y j)/(x² + y²); v = v k / B′ =?

Согласно преобразованиям Лоренца векторов E напряжённости электрического и B индукции магнитного полей в различных инерциальных системах отсчёта (9.1) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" (рис.8.5) вектор B′ индукции магнитного поля, перпендикулярный вектору v постоянной скорости с нерелятивистским значением v модуля, с которым K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OZ оси K(x, y, z, t) неподвижной ИСО, имеет следующий вид:                                                  B′ =- [ v, E])/ c2,          (4.1)

где учтено нерелятивистское значение v << c модуля постоянной скорости, с которым K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OZ оси K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО,вследствиечего (3.25) из раздела 3.0 " Релятивистская механика " релятивистский

β = 1/[1 - ( v ²/ c²)]^1/2 коэффициент примерно равен единице, т.е. β ≈ 1.

       Векторное произведение (4.1) в (1.1) из раздела 1.0 " Физические основы механики " прямоугольной декартовой системе координат имеет следующий вид:

                              B ′ = - (1/c²)[- i ( v a y/(x² + y²) + j ( v a x /(x² + y²)] = - (1/c²) [a/(x² + y²)]( - i v y + j v x) =

       = - (1/ c²) { a /[(x ′)² + (y ′)²]( - i ′ v y ′ + j ′ v x ′) = - (1/ c²) { a /[(x ′)² + (y ′)²] [ v r ′ ] = [ a/(r ′)² c²] [ r ′ v ],                (4.2) где i = i′, j = j′  - равные вектора, поскольку равны их единичные модули и они имеют одинаковое направление, т.е. векторы параллельны и ориентированы в одну сторону; x = эта K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО, y = y′    - равные координаты соответственно в K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО и в K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО, поскольку эта K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО перемещается относительно K(x, y, z, t) неподвижной   ИСО в направлении OZ оси.

       Согласно (4.2) вектор B ′ индукции магнитного поля в K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО перпендикулярен  вектору v постоянной скорости с нерелятивистским значением v модуля, с которымэта K′(x′, y′, z′, t′) подвижная ИСО двигается вдоль положительного направления OZ оси K(x, y, z, t) неподвижной  ИСО, а также перпендикулярен   r ′ радиусу - вектору, направленному в точку пространства K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО, в которой определяется вектор B ′ индукции магнитного поля.

       Согласно (4.2) r′ модуль r ′ радиуса - вектора, направленного в точку пространства K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО, в которой определяется вектор B ′ индукции магнитного поля, связан с

x ′, y′ прямоугольными декартовыми координатами в этой K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО следующим уравнением окружности:                                                                         r′ =[ (x ′)² + (y ′)²]^1/2,                          (4.3) т.е. вектор B ′ индукции магнитного поля в точке пространства K′(x′, y′, z′, t′) подвижной ИСО лежит в

O^' X′ Y′ плоскости и направлен по касательной к окружности (4.3) r′ радиуса.