Метод экспоненциального сглаживания

Данный метод позволяет получить оценку тренда, характеризующего не средний уровень анализируемого процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Данный метод применим при кратко- и среднесрочном планировании и не требует значительной информационной базы.

Каждое сглаженное значение временного ряда определяется сочетанием предыдущего сглаженного значения и текущего значения временного ряда. Текущее значение временного ряда взвешивается с учетом сглаживающей константы (коэффициент сглаживания).

Расчет осуществляется по формуле

y_i_сгл= y_i w + (1-w)y₍_i_-1)_сгл,(23)

где w– коэффициент сглаживания.

При использовании данного метода возникает задача выбора значения коэффициента сглаживания. Чем это значение меньше, тем меньше сглаженное значение чувствительно к изменениям тренда временного ряда и результирующие значения получаются более сглаженными. При увеличении значения коэффициента сглаживания получаемый тренд более сильно зависит от значений фактических данных.

В условиях данной практической работы коэффициент сглаживания принимается равным 0,25.

Главной проблемой при выделении тренда является проблема выбора оптимального вида функции, описывающей временной ряд. Такой выбор можно осуществить несколькими способами:

- визуально, сопоставляя вид кривой и качественную характеристику тенденции рассматриваемого экономического явления (процесса);

- на основе использования метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов

Задача выбора функции заключается в подборе по фактическим данным формы зависимости так, чтобы разница между исходными (y_i) и расчетными (y_нк) данными, образующими линию тренда, была минимальной (рис. 6), т. е.

. (24)

Соответственно рассчитываются параметры тренда, минимизирующие отклонения расчетных значений от фактических.

Тренд может быть выражен любой функцией, например:

- линейной, вида y = a + b·t;

- гиперболической, вида y = a + b/t;

- параболической, вида y = a + b·t + c·t².

Рис. 6. Метод наименьших квадратов

В данной работе вид тренда принимается линейным. Для определения коэффициентов (a, b) линейного уравнения необходимо решить следующую систему уравнений:

_{12 12}

12а+bSt_i=Sy_i,

^{1 1}

_{12 12 12}

аSt_i +bSt²=Sy_it_i.

^{1 1 1}

Для получения прогноза на следующий временной интервал следует подставить в полученное уравнение тренда соответствующее значение t.

Пример

Исходные данные представлены в табл. 7. Расчеты по вышеприведенным формулам представлены в табл. 8 и 9. Результаты представлены на рис. 7- 9.

Т а б л и ц а 7. Выпуск продукции в 2015 году

Месяц	Выпуск y_i, шт.
Январь	597874
Февраль	622225
Март	671769
Апрель	774869
Май	867642
Июнь	898719
Июль	908961
Август	937205
Сентябрь	926033
Октябрь	880329
Ноябрь	820838
Декабрь	750947

Т а б л и ц а 8. Расчет значений

Месяц	y_i_сгл(3)	y_i_сгл(5)	y_iw	(1-w)y₍_i_-1)сгл	y_i_сгл
1					597874,00
2	630622,67		155556,25	448405,50	603961,75
3	689621,00	706875,80	167942,25	452971,31	620913,56
4	771426,67	767044,80	193717,25	465685,17	659402,42
5	847076,67	824392,00	216910,50	494551,82	711462,32
6	891774,00	877479,20	224679,75	533596,74	758276,49
7	914961,67	907712,00	227240,25	568707,37	795947,62
8	924066,33	910249,40	234301,25	596960,71	831261,96
9	914522,33	894673,20	231508,25	623446,47	854954,72
10	875733,33	863070,40	220082,25	641216,04	861298,29
11	817371,33		205209,50	645973,72	851183,22
12			187736,75	638387,41	826124,16

Рис. 7. Результаты сглаживания методом скользящей средней

Рис. 8. Результаты сглаживания, полученные методом

экспоненциального сглаживания

Т а б л и ц а 9. Вычисление тренда методом наименьших квадратов

Месяцы, t	y_i	t²	y_it_i	y_i₍_наим_._кв_.)*
1	597874	1	597874	691207,49
2	622225	4	1244450	711857,81
3	671769	9	2015307	732508,13
4	774846	16	3099476	753158,45
5	867642	25	4338210	773808,77
6	898719	36	5392314	794459,09
7	908961	49	6362727	815109,41
8	937205	64	7497640	835759,73
9	926033	81	8334297	856410,05
10	880329	100	8803290	877060,37
11	820838	121	9029218	897710,69
12	750947	144	9011364	918361,01
∑ 78	9657411	650	65726167

*В результате решения системы уравнений были получены следующие результаты:

a=670557,17,

b=20650,32,

y_i(_наим_._кв_.)=670557,17+20650,32t.

Прогноз на январь 2016г. (t=13):

y_{13(наим.кв.)}=670557,17+20650,32*13 = 939011,33 (шт.).

Рис. 9. Получение тренда методом наименьших квадратов

C помощью программы MS Excel необходимо построить нелинейные виды трендов: логарифмический, полиномиальный второй степени, степенной, экспоненциальный. Для этого для каждого из трендов необходимо выполнить следующие действия:

- построить диаграмму с исходными данными о выпуске продукции за год;

- щелкнуть правой клавишей мыши по анализируемому временному ряду;

- в открывшемся окне выбрать строку «Добавить линию тренда»;

- в открывшемся окне отметить соответствующий вид линии тренда;

- на вкладке «Параметры линии тренда» поставить галочку напротив строки «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R^2» и поставить галочку напротив строки «Показать уравнение на диагламме».

Полученные кривые представлены на рис. 10-13.

Рис. 10. Логарифмический тренд, построенный в MS Excel

Рис. 11. Степенной тренд, построенный в MS Excel

Рис. 12. Экспоненциальный тренд, построенный в MS Excel

Рис. 13. Полиномиальный тренд, построенный в MS Excel

Индивидуальное задание по теме 2:

1. Сгладить временной ряд методом скользящей средней и методом экспоненциального сглаживания, построить соответствующие графики.

2. Выделить линейный тренд методом наименьших квадратов, построить график.

3. Построить в MS Excel нелинейные тренды с указанием степени аппроксимации.

Т а б л и ц а 10. Варианты заданий

Месяц	Варианты
Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Январь	637	6448	1672	1709	4638	1940	1243	12544	3036
Февраль	654	6350	2316	1629	4701	1851	1087	12716	3695
Март	680	5939	2523	1564	4836	1672	1240	12866	4150
Апрель	630	5214	1214	1544	4722	1653	1668	12903	4186
Май	682	5505	1373	1557	4871	1620	1745	12846	4205
Июнь	686	5312	1434	1552	4778	1597	1797	12808	4200
Июль	688	5327	1510	1346	5107	1601	1896	12659	4205
Август	690	5332	1669	1230	4976	1575	1003	13072	4211
Сентябрь	732	6448	1802	1245	4638	1654	1116	12544	3874
Октябрь	707	6350	1858	1442	4701	1722	1156	12716	3644
Ноябрь	637	5939	1951	1709	4836	1940	1154	12866	3436
Декабрь	654	6149	1794	1629	5083	1851	1392	12768	3256
Месяц	Варианты
Месяц	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Январь	2633	848	5675	709	463	3943	7241	1254	1303
Февраль	2654	850	5316	629	470	3854	7083	1271	1369
Март	2685	939	5523	564	481	3675	7245	1286	1415
Апрель	2636	914	5214	544	472	3656	7663	1290	1418
Май	2687	905	5377	557	482	3622	7742	1284	1420
Июнь	2688	912	5432	552	477	3594	7795	1280	1420
Июль	2683	927	5515	546	510	3606	7893	1265	1420
Август	2692	932	5663	630	497	3574	7003	1307	1421
Сентябрь	2733	928	5804	645	463	3652	7114	1254	1387
Октябрь	2704	950	5855	642	470	3725	7156	1271	1364
Ноябрь	2635	939	5956	609	483	3947	7157	1286	1343
Декабрь	2656	949	5797	629	508	3855	7394	1276	1325
Месяц	Варианты
Месяц	19	20	21	22	23	24	25	26	27
Январь	4637	1644	1675	1705	3638	1945	1244	2544	3032
Февраль	4654	1635	2313	1623	3701	1852	1085	2716	3623
Март	4680	1593	2525	1566	3836	1674	1247	2866	4156
Апрель	4630	1521	1216	1547	3722	1657	1660	2903	4186
Май	4682	1550	1377	1557	3871	1628	1744	2846	4200
Июнь	4686	1531	1434	1552	3778	1594	1793	2808	4209
Июль	4688	1532	1512	1345	4107	1602	1892	2659	4208
Август	4690	1533	1665	1235	3976	1575	1004	3072	4217
Окончание табл. 10
Месяц	Варианты
Месяц	19	20	21	22	23	24	25	26	27
Сентябрь	4732	1644	1806	1247	3638	1656	1115	2544	3876
Октябрь	4707	1635	1857	1448	3701	1727	1156	2716	3645
Ноябрь	4637	1593	1954	1702	3836	1948	1157	2866	3434
Декабрь	4654	1614	1792	1623	4083	1859	1398	2768	3253