Системы линейных уравнений

Основные понятия

При помощи матриц очень удобно записывать произвольные системы первой степени (линейные системы). Рассмотрим произвольную линейную систему из m уравнений с n неизвестными.

(1)

Если m=n, то будем называть систему квадратной n-го порядка, если m<n - укороченной (с такими системами встречаются в экономике), при m>n - удлиненной (такие системы встречаются в геодезии).

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Представим систему линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде. Пусть

А – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных (её называют основной матрицей системы),

Х – матрица-столбец неизвестных

В – матрица-столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно записать при помощи этих матриц следующим образом:

A× Х=В (2)

Действительно,

Уравнение (2) равносильно системе (1).

Матричная запись системы (1) аналогична записи уравнения с одним неизвестным a x=b, решением которого при будет . Естественно поставить аналогичный вопрос для решения матричного уравнения A × Х=В.

Если матрица А – невырожденная, т.е. detA ≠ 0 и А имеет единственную обратную матрицу А^-1, то Х = А^-1В – решение системы уравнений (1).

Пример.

Решите систему матричным методом

Решение:

Ответ: (1; 1; 1)

Решение систем линейных уравнение по формулам Крамера

Теорема. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по следующим формулам:

Х₁= , X₂= ,…, x_n= _,где