1. Найти 
Решение:
= 
= 
-неопределенность, для раскрытия требуется дробь сократить.
Так как x=1 – корень многочленов, то многочлены кратны одночлену (x – 1):
x³+x²-2x x-1 3x³-3 x-1
-(x³-x²) x²+2x -(3x³-3x²) 3x²+3x+3
2x²-2x 3x²-3
-(2x²-2x) -(3x²-3x)
| | |
0 3x-3
-(3x-3)
|
0
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:
Вычислим предел:
.
Ответ: 
Устранение иррациональных разностей домножением на сопряженное выражение
Примеры:
1. Найти 
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=0 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида 
. Используя формулу 
для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель на сопряжённый двучлен 
,
А затем при наличии общего множителя сократим на него дробь.
Ответ: 
2. Найти 
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Используя формулу для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель на сопряжённый двучлен 
и 
, а затем при наличии общего множителя сократим на него дробь
Ответ: 
3. Найти 
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=0 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель соответственно на сопряжённые двучлены 
и 
, а затем при наличии общего множителя сократим на него дробь.
Ответ: 
Замена переменной
Пример:
Найти 
Решение:
При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости избавимся от иррациональности сделав замену 
(x=t3). Тогда при 
.
Затем после преобразований сократим дробь на общий множитель.
Ответ: 4
Первый замечательный предел
Примеры:
1. Найти 
Решение:
При 
числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:
Ответ: 
2. Найти 
Решение:
При числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:
Ответ: 
3. Найти 
Решение:
При числитель и знаменатель обращаются в нуль.
Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:
Ответ: 
Правило Лопиталя
Найти 
Решение:
Ответ: 1
3.2. Неопределенность вида 