Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если в общем уравнении прямой (5) В ¹0, то, решив его относительно у, получим уравнение вида

y = kx + b

(6)

здесь k =– A / B, b =–С/В. Его называют уравнением с угловым коэффициентом, поскольку k= tg a, где a - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох. Свободный член уравнения(6) b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу.

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М(х₀;у₀) в заданном направлении

(7)

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой (5) С ¹0, то разделив все его члены на С, получим уравнение вида

x / a + y / b =1

(8)

где а =–С/А, b =–С/В.

Его называют уравнением прямой в отрезках. В (8) а является абсциссой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – ординатой точки пересечения прямой с осью Оу. Поэтому а и b называют отрезками прямой на осях координат.

 

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М₁(x₁; y₁) и М₂(x₂; y₂)

(9)

Пример 1.

Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b =–2 и имеющей угловой коэффициент k =3.

Решение:

Применяя формулу (6), запишем уравнение искомой прямой:

у =3 х –2.

Ответ: у =3 х –2.

Пример 2.

Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки а =2,5 и b =1,5.

Решение:

Воспользовавшись формулой (8) имеем:

х /2,5+у/1,5=1.

Приведем это уравнение к общему виду:

(2/5)х+(2/3)у=1  или 6х+10у–15=0.

Ответ: 6х+10у–15=0.

Пример 3.

Дано общее уравнение прямой 2х–5у+10=0.

Написать: 1) уравнение с угловым коэффициентом;

             2) уравнение в отрезках;

             3) построить прямую.

Решение:

1) Разрешив уравнение относительно у, получим уравнение с угловым коэффициентом:

5у=2х+10 или у =(2/5)х+2.

Здесь k =2/5; b =2.

2) Перенесем свободный член уравнения в правую часть и разделим обе части на (–10):

2х/(–10)–5у/(–10)=1.

Здесь а =–5; b =2.

3) Построим прямую:

Пример 4.

 Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку М (–1;5).

Решение:

Воспользуемся формулой (9)

;

– y=5 x;

5 x+ y=0 – общее уравнение прямой.

Ответ:

Пример 5.

Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (2;–3) и
В (–4;5).

Решение:

Применяя формулу (9) и подставляя х ₁=2, у₁=–3, х₂=–4, у₂=5, получим:

(у–(–3))/(5–(–3))=(х–2)/(–4–2)  или  (у+3)/8=(х–2)/(–6), 4(х–2)=–3(у+3).

Искомое уравнение имеет вид 4х+3у+1=0.

Ответ: 4х+3у+1=0

Пример 6.

Даны вершины треугольника А (–1;1), В(5;7), С(–9;3).

Найти уравнения медиан А D, BE, CN.

Решение:

Найдем сначала координаты точки D – середины стороны ВС по формуле (4):

х =(5–9)/2=–2;

у =(7+3)/2=5,

т. е. D (–2; 5).

Уравнение медианы AD находится с помощью уравнения прямой, проходящей через две точки:

(у –1)/(5–1)=(х +1)/(–2+1) или (у –1)/4=(х +1)/(–1),

т. е. 4 х + у +3=0.

Ответ: Уравнение медианы AD  4х+у+3=0.

Уравнения медиан ВЕ и CN находятся аналогично.

 

Угол между двумя прямыми

Угол между прямыми y₁= k ₁ x + b ₁ и y₂ = k ₂ x + b ₂ определяется по формуле

tg a =(k 2 – k 1)/(1+ k 2 k 1)

(10)

 

Условие параллельности прямых

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты, т.е.

k ₂= k ₁.