Решение задач С2 из методом координат.
Люди делятся по своим наклонностям на два
типа: одним больше нравятся выкладки, другим -
- наглядность.
Прасолов В.В., Тихомиров В.М.
Из предисловия к книге «Геометрия»
Применение координатного метода в стереометрии чаще всего встречается в задачах на нахождение угла между двумя прямыми. Между тем возможности его намного шире. В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрический способ. Этим методом легко решаются задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью, угла между двумя плоскостями, расстояния от прямой до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми.
Как показывает практика, этот метод доступен учащимся даже с недостаточно развитым пространственным воображением, что позволяет повысить уровень их подготовки к ЕГЭ.
Что же требуется, чтобы освоить пространственный метод координат?
Во – первых, знание определенных формул; во – вторых, умение вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их ребрах и гранях.
Формулы и методы решения.
Угол между прямыми.
Вектор 
лежит на прямой а, вектор 
лежит на прямой b. Косинус угла 
между прямыми a и b определяется по формул
(1)
(
0, так как угол 
- острый).
Угол между прямой и плоскостью.
Прямая Ɩ образует с плоскостью α угол 
(
90˚). Вектор 
(
) – направляющий вектор прямой Ɩ.
Плоскость α задана уравнением
и 
- вектор нормали. Синус угла 
определяется по формуле
. (2)
Угол между двумя плоскостями.
Плоскость α задана уравнением 
и ее вектор нормали 
; плоскость 
задана уравнением 
ее вектор нормали 
. Для угла
между плоскостями α и справедлива формула
(3)
( 0, так как угол - острый).
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние h от точки 
до плоскости α, заданной уравнением 
определяется по формуле
. (4)
Расстояние между двумя точками.
Расстояние d между двумя точками, 
, равно
. (5)
Координаты вершин многогранников.
Определим координаты вершин некоторых многогранников.
1. Единичный куб А…D 1 .
Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось x, прямая АD – ось y, прямая АА1 – ось z. Тогда вершины куба имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С (1;1;0), D (0;1;0), А1 (0;0;1), В1 (1;0;1), С1 (1;1;1), D1 (0;1;1).
2. Правильная треугольная призма АВСA1B1C1, все ребра которой равны 1.
Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось x; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, - ось y; прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С (
А1 (0;0;1), В1 (1;0;1), С1 (
3. Правильная шестиугольная призма А…F1, все ребра которой равны 1.
Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, - ось у; прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты:А(0;0;0), В(1;0;0), С (
D (1; 
, Е (0; , F (
; 
), А1 (0;0;1), В1 (1;0;1), С1 (
D 1 (1; 
, Е1 (0; , F1 (; 
).
На выносном чертеже основания АD = BE = CF = 2R = 2; R – радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника; R = 1; АЕ = 
4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD, все ребра которой равны 1.
Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, - ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, - ось z. Тогда вершины тетраэдра имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С ( D (
. Точка D проектируется в точку О – точку пересечения медиан треугольника АВС, которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Высота тетраэдра DO выражается из прямоугольного треугольника АОD: DA = 1, AO = 
DO = 
5. Правильная четырехугольная пирамида SA BCD, все ребра которой равны 1.
Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая АD – ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, - ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С (1;1;0), D (0;1;0), S (
Точка S проектируется на плоскость АВС в точку пересечения диагоналей квадрата АВС D – точку О. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS: SO = 
, SA = 1, AO = 
SO = 
6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны которой равны 1, а боковые ребра равны 2.
Начало координат в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, - ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, - ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С (
D (1; 
0), Е (0; 
; 0), F ( ; 
Точка S проектируется на плоскость АВС в точку О – точку пересечения диагоналей шестиугольника АВСDEF. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS:
SO = , SA = 2, AO = 1, SO = 
.
Примеры решения задач.
Угол между прямыми.
1. В единичном кубе ABCDA1B 1 C 1 D1 найдите угол между прямыми A1D и D1E, где Е – середина ребра CC1.
Решение.
Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке. Найдем координаты точки Е (1;1; 
) и координаты направляющих векторов прямых A1D и D1E: 
, 
= 
.
Косинус угла между прямыми А1 D и D 1 E определяется по формуле (1):
= 
, 
Ответ: 
