Расстояние между двумя точками.

Решение задач С2 из методом координат.

                                           Люди делятся по своим наклонностям на два

                                            типа: одним больше нравятся выкладки, другим -  

                                            - наглядность.

                                                              Прасолов В.В., Тихомиров В.М.

                                                        Из предисловия к книге «Геометрия»

  Применение координатного метода в стереометрии чаще всего встречается в задачах на нахождение угла между двумя прямыми. Между тем возможности его намного шире.  В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрический способ. Этим методом легко решаются задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью, угла между двумя плоскостями, расстояния от прямой до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми.

   Как показывает практика, этот метод доступен учащимся даже с недостаточно развитым пространственным воображением, что позволяет повысить уровень их подготовки к ЕГЭ.

  Что же требуется, чтобы освоить пространственный метод координат?

 Во – первых, знание определенных формул; во – вторых, умение вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их ребрах и гранях.  

                             Формулы и методы решения.

Угол между прямыми.

Вектор   лежит на прямой а, вектор     лежит на прямой b. Косинус угла между прямыми a и b определяется по формул

       (1)

 

( 0, так как угол  - острый).  

 

Угол между прямой и плоскостью.

Прямая  Ɩ  образует с плоскостью α угол  ( 90˚). Вектор () – направляющий вектор прямой Ɩ.

Плоскость α задана уравнением

 

и  - вектор нормали. Синус угла  определяется по формуле

 

                   .   (2)

 

Угол между двумя плоскостями.

 

Плоскость α задана уравнением

и ее вектор нормали ; плоскость  задана уравнением ее вектор нормали . Для угла

между плоскостями α и  справедлива формула

          (3)

( 0, так как угол  - острый).  

 

Расстояние от точки до плоскости.

 

Расстояние h от точки  до плоскости α, заданной уравнением  определяется по формуле

 

       .                    (4)

Расстояние между двумя точками.

Расстояние d  между двумя точками, , равно 

 

 .    (5)

        

    

  Координаты  вершин многогранников.

 

Определим координаты вершин некоторых многогранников.

 

1. Единичный куб А…D ₁ .

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось x, прямая АD – ось y, прямая АА₁ – ось z. Тогда вершины куба имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С (1;1;0), D (0;1;0), А₁ (0;0;1), В₁ (1;0;1), С₁ (1;1;1), D₁ (0;1;1).

 

 

 

2. Правильная треугольная призма АВСA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось x; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, - ось y; прямая АА₁ – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С (  А₁ (0;0;1), В₁ (1;0;1), С₁ (  

 

 

3. Правильная шестиугольная призма А…F₁, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, - ось у; прямая АА₁ – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты:А(0;0;0), В(1;0;0), С ( D (1; , Е (0; , F (; ), А₁ (0;0;1), В₁ (1;0;1), С₁ (   D ₁ (1; , Е₁ (0; , F₁ (; ).

На выносном чертеже основания АD = BE = CF = 2R = 2; R – радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника; R = 1; АЕ =

 

 

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, - ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, - ось z. Тогда вершины тетраэдра имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С ( D (  . Точка D проектируется в точку О – точку пересечения медиан треугольника АВС, которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Высота тетраэдра DO выражается из прямоугольного треугольника АОD: DA = 1, AO =   DO =

 

 

 

 

5. Правильная четырехугольная пирамида SA BCD, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая АD – ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, - ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С (1;1;0), D (0;1;0), S (  Точка S проектируется на плоскость АВС в точку пересечения диагоналей квадрата АВС D – точку О. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS: SO =  , SA = 1, AO =   

SO =

 

 

6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

Начало координат в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, - ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, - ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А (0;0;0), В (1;0;0), С (   D (1; 0), Е (0; ; 0), F (  ;  Точка S проектируется на плоскость АВС в точку О – точку пересечения диагоналей шестиугольника АВСDEF. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS:

SO = , SA = 2, AO = 1, SO =  .

 

 

                                 Примеры решения задач.

Угол между прямыми.

1.  В  единичном кубе ABCDA₁B ₁ C ₁ D₁ найдите угол между прямыми A₁D и       D₁E, где Е – середина ребра CC₁.

 

Решение.

 Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке. Найдем координаты точки Е (1;1;  ) и координаты направляющих векторов прямых A₁D и D₁E:  ,  = .

Косинус угла  между прямыми А₁ D и D ₁ E определяется по формуле (1):

 

 = ,

 

Ответ: