имеет конечное число точек экстремума.

Тогда во всякой точке этого сегмента, в которой непрерывна, функцию можно разложить в ряд Фурье (6.87), который в каждой точке сегмента сходится к. Если есть точка разрыва, то сумма ряда Фурье в этой точке имеет вид

а и определяются так

При вычислении определенного интеграла мы уже отмечали, что вычисления упрощаются в случае интегрирования четной и нечетной функции.

Если на сегменте функция четная, то все ее коэффициенты Фурье и ее ряд Фурье будет содержать только косинусы. Если функция нечетная, то все ее коэффициенты Фурье и раны нулю и ее ряд Фурье будет содержать только синусы. В том случае, если функция задана на половине периода, то «доопределив» ее на другой половине периода как четную, можно получить ее разложение в ряд Фурье, в котором коэффициенты будут равны 0. Если такую функцию доопределить как нечетную, можно получить ее разложение в ряд Фурье, в котором коэффициенты и будут равны 0.

Пример 6.29. Разложить функцию , заданную в промежутке в ряд Фурье.

Решение. Согласно формулам (6.88) имеем

Проведя вычисление соответсвующих интегралов, получим

. (6.92)

Подставляя (6.92) в (6.87), получим ряд Фурье заданной функции в виде

Пример 6.30. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию , определяемую равенствами

(6.93)

Решение. Согласно (6.90) имеем

, (6.94)

Полагая получим

(6.95)

Тогда из (6.87) с учетом (6.94) и (6.95) получим

Пример 6.31. Разложить функцию , заданную в промежутке , в ряд Фурье по косинусам.

Решение. Доопределив заданную функцию до четным образом и вычисляя коэффициенты ряда Фурье, получим

(6.96) (6.97)

Подставляя (6.96) и (6.97) в (6.87), получим

Пример 6. 32. Разложить функцию , заданную в промежутке в ряд Фурье.

Решение. Заметим, что для произвольной функции , имеющей период , величина интеграла по промежутку длины не зависит от . Тогда, согласно этому, коэффициенты Фурье в этом случае есть