Тогда во всякой точке этого сегмента, в которой непрерывна, функцию можно разложить в ряд Фурье (6.87), который в каждой точке сегмента сходится к. Если есть точка разрыва, то сумма ряда Фурье в этой точке имеет вид
,
а 
и 
определяются так
.
При вычислении определенного интеграла мы уже отмечали, что вычисления упрощаются в случае интегрирования четной и нечетной функции.
Если на сегменте 
функция 
четная, то все ее коэффициенты Фурье 
и ее ряд Фурье будет содержать только косинусы. Если функция нечетная, то все ее коэффициенты Фурье 
и 
раны нулю и ее ряд Фурье будет содержать только синусы. В том случае, если функция задана на половине периода, то «доопределив» ее на другой половине периода как четную, можно получить ее разложение в ряд Фурье, в котором коэффициенты 
будут равны 0. Если такую функцию доопределить как нечетную, можно получить ее разложение в ряд Фурье, в котором коэффициенты и будут равны 0.
Пример 6.29. Разложить функцию 
, заданную в промежутке 
в ряд Фурье.
Решение. Согласно формулам (6.88) имеем
Проведя вычисление соответсвующих интегралов, получим
. (6.92)
Подставляя (6.92) в (6.87), получим ряд Фурье заданной функции в виде
.
Пример 6.30. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию , определяемую равенствами
(6.93)
Решение. Согласно (6.90) имеем
, (6.94)
.
Полагая 
получим
(6.95)
Тогда из (6.87) с учетом (6.94) и (6.95) получим
.
Пример 6.31. Разложить функцию 
, заданную в промежутке 
, в ряд Фурье по косинусам.
Решение. Доопределив заданную функцию до 
четным образом и вычисляя коэффициенты ряда Фурье, получим
(6.96) 
(6.97)
Подставляя (6.96) и (6.97) в (6.87), получим
.
Пример 6. 32. Разложить функцию 
, заданную в промежутке 
в ряд Фурье.
Решение. Заметим, что для произвольной функции 
, имеющей период 
, величина интеграла 
по промежутку длины не зависит от 
. Тогда, согласно этому, коэффициенты Фурье в этом случае есть
, (6.98)
, (6.99)
. (6.100)
Таким образом, согласно (6.87) получим 
Задачи с ответами.
6.3.1. Пользуясь определением сходимости ряда, найти сумму ряда 
.
Ответ: 
6.3.2. Исследовать числовой ряд с положительными членами 
на сходимость.
Ответ: сходится.
6.3.3. Исследовать числовой ряд с положительными членами 
на сходимость.
Ответ: расходится.
6.3.4. Исследовать числовой ряд с произвольными членами 
на сходимость.
Ответ: сходится абсолютно.
6.3.5. Исследовать числовой ряд с произвольными членами 
на сходимость.
Ответ: сходится условно.
6.3.6. Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда 
.
Ответ: 
6.3.7. Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда 
.
Ответ: 
6.3.8. Вычислить 
с точностью до 
Ответ: 
6.3.9. Разложить в ряд Тейлора по степеням х функцию 
и указать область сходимости.
Ответ: 
6.3.10. Разложить в ряд Тейлора по степеням х функцию 
и указать область сходимости.
Ответ: 
6.3.11. Вычислить 
с точностью до 
.
Ответ: 
6.3.12. Разложить в ряд Фурье функцию 
Ответ: 
6.3.13. Разложить в ряд Фурье функцию 
Ответ: 
6.3.14. Разложить в ряд Фурье функцию 
по косинусам.
Ответ: 
6.3.15. Разложить в ряд Фурье функцию 
по синусам.
Ответ: 
