Примеры вычисления производных, дифференциалов и раскрытия неопределенностей по правилам Лопиталя.

Пример 3.28. Найти производную функции  по

Решение. Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.29. Найти производную функции  по

Решение. Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.30. Найти производную функции  по

Решение. Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.31. Найти производную функции  по

Решение. Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.32. Найти производную функции  по

Решение. Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.33. Найти производную функции  по

Решение. Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.34. Найти производную функции  по где

Решение. Согласно (3.23) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.35. Найти производную функции  по

Решение. Согласно (3.28) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.36. Найти производную функции  по

Решение. Согласно (3.28) и правилам вычисления производных от элементарных функций имеем

Ответ:

Пример 3.37. Пусть издержки производства  как функция от количества продукции  имеют вид Найти предельные издержки производства при и .

Решение. По определению предельных издержек производства имеем

Ответ:

Пример 3.38. Количество  продукции, выпускаемой за время , определяется формулой Вычислить производительность  выпуска продукции в моменты времени

Решение. Так как  то

Ответ:

Пример 3.39. Функция  задана в параметрическом виде формулами и  Найти .

Решение. Согласно (3.30) имеем

Ответ:

Пример 3.40. Функция  задана в неявном виде формулой Найти

Решение. Дифференцируя обе части уравнения  по получим:

Ответ:

Пример 3.40. Найти производную 6-го порядка от функции  пользуясь формулой Лейбница.

Решение. Согласно (3.33), имеем

Ответ:

Пример 3.41. Найти производную второго порядка функции

Решение. Имеем

Ответ:

Пример 3.42. Найти дифференциал первого порядка функции

Решение. Согласно определению 3.8 имеем

Ответ:

Пример 3.43. Найти дифференциал второго порядка функции

Решение. Согласно (3.29) имеем

Ответ:

Пример 3.44. Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя.

Решение.

Ответ:

Пример 3.45. Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя.

Решение.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

lim

x

x

lim

x

x

lim

x

x

x

lim

x

x

x

lim

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

5

1

30

6

8

30

6

8

30

6

8

15

2

3

8

15

2

3

1

4

5

2

2

1

4

5

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

3

3

=

=

¢

+

¢

=

ú

û

ù

ê

ë

é

¥

¥

=

+

=

¢

+

¢

+

=

=

ú

û

ù

ê

ë

é

¥

¥

=

+

+

=

¢

+

+

¢

+

+

=

ú

û

ù

ê

ë

é

¥

¥

=

+

+

+

+

¥

®

¥

®

¥

®

¥

®

¥

®

¥

®

¥

®

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

lim

x

x

lim

x

x

lim

x

x

x

lim

x

x

x

lim

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

5

1

30

6

8

30

6

8

30

6

8

15

2

3

8

15

2

3

1

4

5

2

2

1

4

5

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

3

3

=

=

¢

+

¢

=

ú

û

ù

ê

ë

é

¥

¥

=

+

=

¢

+

¢

+

=

=

ú

û

ù

ê

ë

é

¥

¥

=

+

+

=

¢

+

+

¢

+

+

=

ú

û

ù

ê

ë

é

¥

¥

=

+

+

+

+

¥

®

¥

®

¥

®

¥

®

¥

®

¥

®

¥

®

Ответ:

Пример 3.46. Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя и эквивалентными бесконечно малыми.

Решение.

Ответ:

Пример 3.47. Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя.

Решение.

Ответ:

Пример 3.48. Вычислить предел , пользуясь правилами Лопиталя.

Решение.

Ответ: