ОПР.5.Способ выбора k элементов из различных nэлементовс учётом их порядка называется размещением из n элементов по k.

Раздел 5. Элементы теории вероятностей

Тема 5.1. Элементы комбинаторики

Тема 5.2. Алгебра событий

Тема 5.3. Основные теоремы теории вероятностей

 

Введение

Вероятность является ключевым понятием при изучении любых природных и социальных явлений. Мы сталкиваемся с ней ежедневно, обычно не замечая этого. Такое обыденное чувство как интуиция является ничем иным как подсознательным вычислением вероятности тех или иных событий, неявной оценкой всех факторов, могущих повлиять на результат наших действий. Широко известные значения вероятности некоторых распространенных событий, например, попадания в автомобильную аварию, позволяет нам постоянно принимать решения, от которых напрямую зависит вся наша жизнь. Если мы знаем, что вероятность попасть в аварию равна, скажем, 0,00001, то мы без особой тревоги сядем за руль, чтобы добраться до нужного места. Если же эта вероятность была бы, например, 40%, нам пришлось бы серьезно задуматься о повышении безопасности автомобиля или вовсе от него отказаться. В подобных очевидных случаях нет нужды тщательно подсчитывать ту или иную вероятность, прежде чем принять решение. Однако нередко возникают ситуации, когда исход какого-либо события вовсе не очевиден. Тогда необходимо найти алгоритм вычисления соответствующих вероятностей и точно подсчитать их. В зависимости от результата можно будет склониться к одному из решений.

Тема 5.1. Элементы комбинаторики

     Решение вероятностных задач часто облегчается использованием комбинаторных формул.

Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.

     Правила выбора диктуют число различных комбинаций выбора, то есть сколькими способами может быть осуществлен выбор. Это число определяется комбинаторными формулами.

      Основные комбинации: перестановки, размещения и сочетания.

    За последние два-три века теория вероятностей и вытекающая из нее математическая статистика получили чрезвычайное развитие и стали обширными областями науки с мощным математическим аппаратом. Появление вычислительной техники сделало процесс решения большинства задач минутным делом. Однако для грамотного применения современных компьютерных программ все же необходимо иметь представление о структуре базовых формул и уметь классифицировать различные задачи по способам решения. Поэтому в данном пособии авторы постарались совместить изложение чисто математических приемов решения с демонстрацией возможностей вычислительной техники. Простейшей компьютерной программой, пригодной для решения изложенных задач, является MicrosoftExcel. Помимо вычислительных возможностей эта программа оснащена большим количеством статистических функций, позволяющих находить параметры экспериментальных массивов данных, не вникая в конструкцию и происхождение необходимых для этого формул, а также строить диаграммы и гистограммы самого разного вида. В лекции приводятся примеры решения задач в MicrosoftExcel. 

Перестановки

Пусть имеется множество, состоящее из n различных элементов. Обозначим его U_n.

 ОПР.1. Перестановкой из n различных элементов называется заданный порядок во множестве  U_n.

ОПР.2. Конечное множество, состоящее из n элементов, называется упорядоченным, если его элементы каким – либо образом занумерованы числами 1,2,…, n-1, n.

ОПР.3. Способ расположения n различных элементов множества U_n в упорядоченную последовательность называется перестановкой из n элементов.

ОПР.4.Перестановками из n элементов называются всевозможные комбинации, состоящие из одних и тех же n элементов, отличающихся только порядком их расположения.

 Примеры перестановок:

1) распределение n различных должностей среди n человек;

2) расположение n различных предметов в одном ряду.

Сколько различных перестановок можно образовать во множестве U_n?

 

Число перестановок обозначается P_n

От фр. Permutation –перестановка, перемещение

 

Алгоритм подсчета

Рассмотрим n занумерованных ячеек:

1	2	3	…	n
n	n-1	n-2	…	1

Первую ячейку можно заполнить n способами.

Вторую ячейку можно заполнить n -1 способами.

Две ячейки можно заполнить n(n-1) способами.

Третью ячейку можно заполнить n -2 способами.

Три ячейки можно заполнить

n (n -1)(n -2) способами и т. д.

Теорема 1. Число всех перестановок из n элементов равно

     P _n = n(n - 1)(n - 2)... × 3 × 2 × 1= n! (факториал)

Пример. .

По определению считается:

1!=1; 0!=1.

Свойство факториала

Пример. Сколькими способами можно расставить на полке 6 различных книг?

Пример. Порядок выступления 8 участников конкурса определяется жеребьевкой. Сколько различных исходов жеребьёвки возможно?

Размещения

ОПР.5.Способ выбора k элементов из различных nэлементовс учётом их порядка называется размещением из n элементов по k.

ОПР.6. Размещениями из n элементов по k элементам называются всевозможные комбинации, составленные из k элементов множества U_n, отличающиеся либо их порядком, либо составом.

Число размещений из n элементов по k элементов обозначается

 От фр. Arrangement –размещение, приведение в порядок

 

В задачах о размещениях полагаем k < n.

 

Алгоритм подсчета

Формула выводится с помощью k ячеек.

1	2	3	…	k
n	n-1	n-2	…	n-(k-1)

Теорема 2. Число всех размещений из n элементов по k элементам вычисляется по формуле

   

Если k = n, то

Если k = n=0, то

 

Пример. Сколько существует вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различные страны?

   

Пример. Имеется 5 кусков материи разных цветов. Сколько различных флагов можно скроить из этих кусков, если каждый флаг состоит из трех одинаковых горизонтальных полос разного цвета?

.

Сочетания

ОПР.7.Сочетаниями из n различных элементов по k элементов называются подмножества, состоящие из k элементов множества U_n   ,отличающиеся только составом.

                                 Различие размещений и сочетаний:

 Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается

От фр. combinaison –комбинация, сочетание

 

Алгоритм подсчета

Выделим из U_n упорядоченное подмножество из k элементов, т.е. образуем размещение в два шага:

1) выделим из U_n всевозможные k- элементные подмножества, отличающиеся составом, т.е. образуем сочетания. Число таких подмножеств равно .

2) упорядочим выделенные k элементы. Это можно сделать  способами.

Всего можно получить  вариантов (упорядоченных подмножеств, отличающихся хотя бы одним элементом). Тогда

откуда

   

Свойства числа сочетаний

1. .

2.

3.

Пример. Сколькими способами можно из 15 человек выбрать 6 кандидатов для одинаковых должностей?

   

Пример. Из отряда солдат в 20 человек надо назначить в караул 4-х человек. Сколькими способами можно составить караул?

Правила комбинаторики

Правило суммы

Если некоторый объект А можно выбрать из некоторой совокупности объектов m способами, а другой объект В – k способами:

то выбрать либо А, либо В можно m + k способами.

Задача. В ящике 300 деталей. Известно, что из них 150 -1 сорта, 120 – 2 сорта, остальные – 3 сорта. Сколько существует способов извлечения из всех по одной детали 1-го или 2-го сорта?

Тогда 270 способов.

Правило произведения - основной принцип комбинаторики

Если объект А можно выбрать из некоторой совокупности объектов m способами, и после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать k способами, то оба объекта А и В в указанном порядке можно выбрать m k способами.

Задача. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, заместителя и профорга. сколькими способами может быть осуществлен выбор?

                          Тема 5.2. Алгебра событий

    ОПЫТОМ называем только такой случайный эксперимент, который можно воспроизвести при неизменном комплексе условий произвольное число раз, хотя бы теоретически. Любой наблюдаемый результат опыта интерпретируется как случайное событие. Итак, событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти, называем случайным.

Примеры случайных событий:

А – появление герба при бросании монеты;

В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С – попадание в цель при выстреле;

D – появление туза при вынимании карты из колоды

 

Обозначение случайных событий: A, B, C, D и т.д. На рисунках изображают случайные события в виде геометрических фигур на плоскости, например, кругов. Это так называемые диаграммы Эйлера.