Условный экстремум функции двух переменных.

Ниже перейдем к нахождению экстремумов функции двух переменных, аргументы которой удовлетворяют условию связи. Пусть имеем функцию двух переменных Нужно найти экстремумы этой функции при условии связи

(4.24)

то есть нужно исследовать функцию на условный экстремум методом Лагранжа. Суть метода состоит в том, что составляем функцию Лагранжа где пока неопределенный множитель Лагранжа и эту функцию исследуем на экстремум, пользуясь необходимым условием экстремума (4.21) и условием связи (4.24). Итак, имеем

(4.25)

Решая систему уравнений (4.25) относительно трех неизвестных , найдем и точки возможного экстремума (стационарные точки). Далее с помощью достаточных условий исследуем каждую стационарную точку на экстремум.

Пример 4.13. ( пример экономического характера) Пусть функция полезности имеет вид, где количество единиц первого товара, количество единиц второго товара. Потребитель имеет возможность потратить всего 1200 денежных единиц на приобретение единиц первого товара, цена единицы которого составляет 1 денежную единицу, и единиц второго товара, цена единицы которого составляет 4 денежных единиц. Найти значения и при которых полезность будет наибольшей.

Решение. Очевидно, что функция Лагранжа имеет вид:

Тогда, согласно (4.25) имеем

(

)

200

400

398

1200

Тогда функция Лагранжа принимает вид

Проводя исследование полученной функции на обычный экстремум в точке с координатами , получим, что исходная функция имеет max, при этом

Ответ: Полезность будет наибольшей при

Задачи с ответами.

4.5.1.

Ответ: ; ;

4.5.2. Найти частные производные третьего порядка от функции

Ответ:

4.5.3. Исследовать на экстремум функцию

Ответ: в точке

4.5.4. Исследовать на экстремум функцию

Ответ: в точке

4.5.5. Исследовать на условный экстремум функцию

при условии

Ответ: в точках и , в точках и .

4.5.6. Пусть функция полезности имеет вид где количество единиц первого товара, количество единиц второго товара. Потребитель имеет возможность потратить всего денежных единиц на приобретение единиц первого товара, цена единицы которого составляет 1 денежную единицу, и единиц второго товара, цена единицы которого составляет 2 денежных единиц. Найти значения и при которых полезность будет наибольшей.