Случаи сложной функции и функции, заданной в неявном виде.

Раздел IV

Дифференциальное исчисление функции двух переменных

Частные производные и дифференциал функции двух переменных.

Пусть имеем функцию двух независимых переменных Геометрически эта функция описывает поверхность в трехмерной прямоугольной системе координат. Например, функция представляет собой уравнение параболоида вращения (рис. 4.1).

Предположим, что а переменная получает положительное приращение Тогда очевидно, что функция получает приращение только по (см. рис. 4.1). Составим отношение частного приращения функции и приращения аргумента и перейдем к пределу при Если конечный такой предел существует, то он называется частным производным функции по переменной и обозначается так:

(4.1)

Анологично определяется и частная производная по переменной и обозначается так:

(4.2)

Пример 4.1. Вычислить частные производные первого порядка функции

Решение.

Ответ:

Пример 4.2. Вычислить частные производные первого порядка функции

Решение.

Ответ:

Пример 4.3. Число рабочих на заводе увеличилось на 20%, а производительность труда каждого рабочего увеличилась на 40%. На сколько процентов увеличился обьем продукции?

Решение. Объем продукции есть функция двух независимых факторов (переменных), то есть где - количество рабочих, а - производительность труда каждого

рабочего. При этом очевидно, что После увеличения количества рабочих и производительности труда каждого рабочего на указанные в примере проценты новый объем продукции будет равен где

Тогда

Если теперь предположить, что составляет от то будем иметь

Ответ: объем продукции увеличится на

Пример 4.4. Издержки производства зависият от двух независимых факторов (переменных) и по формуле Определить предельные издержки по каждому фактору.

Решение. Очевидно, чторешение сводится к нахождению частных производных функции по переменным и Итак имеем

Ответ: предельные издержки по фактору равны а по фактору

Определение 4.1. Если полное приращение можно представить в виде

(4.3)

где при то функция называется дифференцируемой. Главная линейная часть этого приращения называется дифференциалом функция первого порядка, то есть

(4.4)

Если теперь учесть, что то из (4.4) для полного дифференциала первого порядка функции двух независимых переменных получим

(4.5)

Пример 4.5. Дано Найти

Решение. Согласно (4.5) имеем

Ответ:

Пример 4.6. Дано . Найти

Решение. Согласно (4.5) имеем

Ответ:

Пример 4.7. Дано Найти

Решение. Согласно (4.5) имеем

Ответ:

Если вычислить частные производные от частных производных первого порядка функции то получим частные призводные второго порядка функции которые обозначаются следующим образом:

(4.6)

(4.7)

Теорема 4.1. Если смешанные производные второго порядка и являются непрерывными функциями по переменным , то они равны, то есть

(4.8)

В случае независимых переменных () и непрерывности частных производных второго порядка функции дифференциал второго порядка от функции определяется следующим образом: