Математическая физика. Часть 2.
(курс предназначен для студентов физических специальностей ИФНИТ в осеннем семестре 3 курса)
Глава 1. Введение
1.1. 
Предмет математической физики
Основные задачи математической физики. Предметом математической физики является: постановка задач, вывод уравнений, определение граничных и начальных условий; классификация уравнении МФ, определение корректности задач; построение аналитических методов решения задач МФ; построение численных методов решения задач МФ, физическая интерпретация результатов. Основные обозначения в МФ.
1.2. Декартовая, цилиндрическая и сферическая системы координат
Характеристика радиуса вектора в декартовой системе координат 
. Ортогональные орты в декартовой системе координат. Элемент поверхности 
и элемент объема 
в декартовой системе координат. Правило суммирования Эйнштейна по дважды повторяющемуся индексу 
. Цилиндрическая система координат 
. Связь декартовых и цилиндрических компонент вектора 
. Якобиан перехода от декартовой к цилиндрической системе координат. Элемент поверхности и элемент объема в цилиндрической системе координат. Площадь круга радиуса 
, величина боковой поверхности цилиндра, радиус которого равен , а высота цилиндра равна 
. Вычисление объема цилиндра . Порядок интегрирования функций в цилиндрической системе координат. Связь декартовых компонент с компонентами вектора в сферической системе координат 
. Элементы поверхности и элементы объема в сферической системе координат. Якобиан перехода от декартовой к сферической системе координат. Поверхности сферы радиуса , объем сферы радиуса . Порядок интегрирования функций в сферической системе координат.
1.3 Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство
Определения скалярное произведение двух векторов. Символ Кронекера. Выражение скалярного произведения декартовых ортов через символ Кронекера. Выражение для скалярного произведения двух векторов с помощью правила суммирования Эйнштейна. Свойства символа Кронекера. Угол между двумя единичными векторами 
и 
, характеризующимися своими координатами в сферической системе координат 
и 
. Матрица перехода от ортов цилиндрической 
системы координат к ортам декартовой системы координат 
. Дифференцирование по времени ортов цилиндрической системы координат 
, 
. Вычисление частных производных 
, 
, 
, 
. Матрица перехода от ортов cферической 
системы координат к ортам декартовой системы координат . Вычисление частных производных 
, 
, 
, 
. 
, . Пространство 
, где 
– размерность пространства. Понятие евклидова пространства – конечномерного векторного пространства, в котором определено скалярное произведение. Скалярное произведение в евклидовом пространстве. Квадрат нормы вектора в – мерном евклидовом пространстве.
1.4 Векторное, смешанное и двойное векторное произведение
Определение векторного произведения. Таблица векторного произведение декартовых ортов. Символ Леви-Чевита 
. Выражение для векторного произведения декартовых ортов через Символ Леви-Чивита. Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение векторов. Доказательство свойств символов Леви-Чивита.
1.5 Тензорное исчисление
Поворот системы координат, где 
–орты старой системы координат, 
–орты новой системы координат, повернутой относительно старой на некоторые углы. Условие ортогональности ортов 
в старой и новой системах координат 
. Запись вектора 
в старой системе координат 
, и в новой системе координат 
. Выражение для компонент вектора в новой системе координат 
, через 
–косинусы углов между вектором 
в новой системе координат, и вектором в старой системе координат. Вывод правил суммирования для косинусов 
и 
. Понятие инвариантности. Понятие скаляра, Понятие вектора (тензора 1 ранга). Понятие тензора 2 ранга. Понятие симметричного и антисимметричного тензора. Задача о произведении симметричного на антисимметричный тензор. Задача о инвариантности соотношений равенства между векторами и тензорами в старой и новой системах координат. Задача об инвариантности скалярного произведения. Закон связи двух векторов в анизотропной среде с помощью тензора 2 ранга. Задача об инвариантности шпура (суммы диагональных матричных элементов) тензора второго ранга.
1.6. Векторный анализ в декартовой системе координат
Понятие скалярного поля 
. Понятие поверхностей постоянного уровня для скалярного поля. Понятие плоской волны 
, где 
– волновой вектор, – радиус вектор, у которой фаза 
представляет собой уравнение плоскости. Понятие векторного поля 
. Примеры скалярных и векторных полей в математической физике. Операция градиента для скалярного поля в декартовой системе координат. Оператор Гамильтона 
. Операция дивергенции вектора в декартовой системе координат. Операция ротора вектора в декартовой системе координат. Понятие оператора импульса 
. Действие оператора импульса на плоскую волну 
. Операции векторного анализа: 
, 
, 
. Вид оператора Лапласа в декартовой системе координат 
. Теорема Остроградского-Гаусса. Следствия из теоремы Остроградского Гаусса. Формула Грина. Теорема Стокса.
1.7. Криволинейные координаты. Операции 
, 
, 
, 
в цилиндрической и сферической системах координат.
Криволинейные координаты, Якобиан перехода от переменных 
, Координатные поверхности 
. Координатные линии – как линии пересечения двух координатных плоскостей. Квадрат элемента длины в декартовой системе координат. Квадрат элемента длины в цилиндрической системе координат (ЦСK). Определение коэффициентов Ламе в ортогональной системе координат. Коэффициенты Ламе в ЦСК. Выражение для градиента и для оператора Лапласа в ЦСК. Выражение для лапласиана в ЦСК системе координат, угловая часть, которого выражен через безразмерный оператор 
проекции момента, где оператор вектора момента импульса 
имеет вид 
, где оператор импульса , оператор проекции момента импульса 
на оси 
равен 
.
Выражения для градиента и лапласиана в произвольной ортогональной системе координат. Координатные поверхности и координатные линии в ЦСК. Квадрат элемента длины в сферической системе координат (ССК). Коэффициенты Ламе в (ССК). Выражения для градиента и оператора Лапласа в (ССК). Координатные поверхности и координатные линии в (ССК). Вывод выражения для оператора Лапласа в (ССК) 
, где оператор 
. Оператор 
– представляет собой безразмерный оператор момента импульса.
Глава 2. Специальные функции в математической физике
2.1. Гамма и бета функция
Определение Гамма-Функции 
– интеграла Эйлера 2 рода. Условие сходимости Гамма-Функции при 
. Вывод выражения соотношения 
. Значения Гамма функции для целых значений аргумента. Выводы выражения 
, где 
, величина 
. Определение Бета функции (интеграл Эйлера 1 рода) 
, где 
. Вывод соотношения 
.
2.2 Формула Стирлинга. Объем сферы единичного радиуса в мерном евклидовом пространстве
Изложение метода перевала, использующегося для вычисления интеграла 
, где 
непрерывная функция, вещественный параметр 
, и непрерывная функции 
, имеет минимум в точке 
, где 
. Выражения для 
через Гамма функцию, где 
. Вычисление интеграла с Гамма функцией методом перевала для нахождения формулы Стирлинга 
. Получение формулы для объема мерной сферы в евклидовом пространстве, имеющей радиус .
2.3. Интеграл вероятности и интеграл Досона
Определение интеграла вероятности 
. Нечетность интеграла вероятности. Асимптотическое поведения интеграла вероятностей 
для 
, и . График интеграла вероятности Явный вид полиномов 
для 
, удовлетворяющих соотношению 
. Определение интеграла Досона 
. График и асимптотика интеграла Досона 
для , и .
2.4. Гильбертово пространство
Операторы в математической физике. Линейные операторы. Определение гильбертова пространства. Определение скалярного произведения комплексных функций в гильбертовом пространстве. Свойство скалярного произведения. Понятие нормы комплексной функции. Уравнения на собственные функции 
и собственные значения 
оператора 
: 
. Ортогональность собственных функций. Орты гильбертова пространства 
. Разложение произвольной функции 
в ряд по ортам гильбертова пространства 
: 
. Выражение для коэффициентов разложения 
. Разложение функции 
в ряд по ортогональной системе функций 
. Вывод выражения для коэффициентов разложения 
. Условие полноты базиса собственных функций в гильбертовом пространстве.
2.5 Операторы в гильбертовом пространстве
Единичный оператор. Произведение операторов, Обратный оператор. Комплексно сопряженные операторы 
. Транспонированные операторы 
. Эрмитовски сопряженный оператор 
. Самосопряженные или эрмитовы операторы 
. Задача о нахождении собственных функций и собственных значений эрмитового оператора. Доказательство теоремы о вещественности собственных значений эрмитового оператора и о том, что собственные функции эрмитового оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Унитарный оператор. Задачи о транспонированном операторе 
для оператора, представляющего собой произведение двух операторов 
. Задача о доказательстве свойств эрмитовых операторов: оператора импульса и оператора лапласиана 
. Задача о собственных значениях унитарного оператора. Задача о инвариантности скалярного произведения унитарного оператора.
2.6. Обобщенные функции математической физики. Дельта функция Дирака. Тета функция
Определение дельта функции 
. Интеграл от произведения \ и непрерывной 
в симметричных пределах 
. Дельтаобразные последовательности 
, зависящие от бесконечно малого параметра 
, которые моделируют дельта функцию . Свойства . Производная дельта функции. Ступенчатая Тета функция 
и ее связь с дельта функцией. Разложение в интеграл Фурье. Фурье компонента дельта функции. Определение монохроматических волн – функций, зависящих от времени 
, представляющих собой колебание с фиксированной частотой 
: 
= 
. Ортогональность двух монохроматических волн с различными частотами и 
, выражающихся через дельта функцию. Трехмерная дельта функция 
. Определение плоских волн – функций, зависящих от времени , с волновым вектором : 
= 
. Разложение трехмерной дельта функции в интеграл Фурье. Ортогональность плоских волн с различными и 
. Решение задачи о скалярном потенциале точечного заряда. Дельта функция в цилиндрической и сферической системах координат.
2.7. Ряды Фурье
Формулы разложения произвольной функции 
в ряд по ортогональной системе функцию . Введение безразмерных переменных для радиус векторов и моментов времени, которые позволяют свести задачу к безразмерной переменной 
, или к безразмерной переменной 
. Понятие рядов Фурье. Ортонормированность базиса тригонометрических функций 
для с весовой функцией 
. Выражение для Фурье коэффициентов в этом базисе. Ортонормированность ортогональных функций 
для с весовой функцией 
. Условия Дирихле для функции, имеющей точки разрыва. Теорема Дирихле о возможности разложения в ряд Фурье функции, удовлетворяющей условию Дирихле. Равенство Парсеваля, устанавливающее соответствие между квадратом нормы функции 
и суммой квадратов модулей Фурье коэффициентов 
. Доказательство неравенства Бесселя, утверждающего, что возникающая погрешность между функцией 
и аппроксимацией 
рядом Фурье с конечным количеством слагаемых, будет минимальна, при условии 
. Задачи на вычисление коэффициентов Фурье различных функций 
, где функция 
определяет знак переменной : 
, если 
; 
, если 
; 
, если 
. Зависимость 
среднеквадратичного отклонения между 
и 
в зависимости от номера 
для различных .
2.8. Задача Штурма-Лиувилля о нахождении собственных значений и собственных функций уравнений математической физики
Формулировка задачи Штурма-Лиувилля решения однородного дифференциального уравнения 
,
где 
– искомая функция, 
– известные функции, 
–весовая функция. Понятие собственных значений 
и собственных функций 
. Простановка задач математической физики. Условия корректности Адамара. Классификация граничных задач уравнений математической физики: первая краевая задача (задача Дирихле); вторая краевая задача (задача Неймана); третья краевая задача (смешанная задача). Условие ограниченности решений для аргументов 
, 
. Начальные условия уравнений математической физики (задача Коши). Задача о нахождении собственных значений и собственных функций 
одномерного стационарного уравнения Шредингера для частицы, помещенной в бесконечную потенциальную яму ширины 
, с граничными условиями для волновой функции 
; 
(задача Дирихле). Задача о разложении произвольной волновой функции 
в бесконечной яме по собственным функциям : 
. Нахождение коэффициентов 
. Задача о нахождении собственных значений и собственных функций стационарного одномерного уравнения Шредингера для частицы, помещенной в потенциальную конечной высоты 
, причем ширина ямы равна 
: 
, если 
; , если 
.
2.9. Задача Штурма-Лиувилля для нахождения собственных значений и собственных функций стационарного одномерного уравнения Шредингера для частицы с энергией 
, находящейся в потенциале 
(задача гармонического осциллятора)
Поведение волновых функций 
в различных потенциалах 
для инфинитного движения (непрерывный спектр собственных значений), полуфинитного движения и финитного движения (дискретный ряд собственных значений. Введения характерного масштаба изменения волновой функции 
, безразмерной переменной 
и приведение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора к виду 
, где 
. Подстановка 
и дифференциальное уравнение для функции 
. Степенной ряд для функции . Рекуррентные соотношения для коэффициентов степенного ряда. Условие ограниченности функции при 
. Нахождение собственных значений 
. Дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита 
.
2.10. Свойство полиномов Эрмита
Вывод формулы Родрига для получения явного вида полиномов Эрмита . Определение константы нормировки волновой функции 
. Квадрат нормы полиномов Эрмита. Производящая функция для полиномов Эрмита. Вывод рекуррентных соотношений для полиномов Эрмита: 
, 
. Задача: получить рекуррентные соотношения для нормированных волновых функций задачи гармонического осциллятора. Задача: вычислить матричные элементы 
операторов = 
по волновым функциям гармонического осциллятора 
. Задача об операторах рождения 
и уничтожения 
в квантовой задаче о гармоническом осцилляторе.
2.11. Полиномы Лежандра
Разложение 
в ряд по полиномам Лежандра, 
, 
, 
– безразмерная переменная. Преобразование оператора 
. Явный вид полиномов Лежандра: 
, 
, 
. Ортогональность полиномов Лежандра. Переход от угловой части в операторе Лапласа, записанного в сферической системе координат, к безразмерной переменной . Собственные функции 
и собственные значения уравнения 
. Формула Родрига для полиномов Лежандра 
. Собственные значения 
уравнения для полиномов Лежандра. Уравнения для производящей функции 
для полиномов Лежандра, в которых производящая функция равняется 
. Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра, получающиеся из уравнений для производящей функции . Вычисление нормы для полиномов Лежандра. Аппроксимация произвольных функций 
, заданной на интервале аргумента . Вычисление коэффициентов 
. Среднеквадратическая ошибка между функцией и ее аппроксимацией с помощью конечного ряда полиномов Лежандра 
. Задача: аппроксимация функции 
, вычисление коэффициентов 
. Нахождение 
.
2.12 Присоединенные полиномы Лежандра. Сферические гармоники
Нахождение собственных чисел и собственных функций 
уравнения 
для целых значений 
и условиях ограниченности функции 
. Случай 
. Использование подстановки 
для получения дифференциального уравнения для 
: 
. Доказательство того, что уравнению для удовлетворяют присоединенные полиномы Лежандра 
, где полиномы Лежандра, а собственные числа . Доказательство соотношения 
. Ортогональность присоединенных полиномов Лежандра 
и 
одинаковым значением и различными значениями 
и 
.
2.13. Метод Фурье. Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферической системе координат
Метод разделения переменных (метод Фурье) для стационарного уравнения Шредингера. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа 
в случае сферической симметрии 
. Разделение переменных для уравнения Лапласа 
в случае, если функция 
имеет азимутальную симметрию и не зависит от угла 
. Разделение переменных в уравнении Лапласа, в случае, если функция 
. Однозначные собственные функции оператора . Уравнение для функции 
. Ортонормированные сферические гармоники 
и их ортогональность. Оператор Лапласа в сферической системе координат , где оператор . Сферические гармоники , как собственные функции уравнений 
, 
. Явный вид сферических гармоник 
, 
, 
, 
. Общее решение уравнения для функции . Теорема сложения для сферических гармоник 
. Задачa об определении скалярного потенциала во всем пространстве, если существует идеально проводящая сфера радиуса 
, на поверхности которой выполняется условие 
, а также точечный заряд 
, находящейся на оси в точке 
. Задача об определении скалярного потенциала во всем пространстве от сферы радиуса , помещенной в начало координат, поверхность которой заряжена с поверхностной плотностью 
.
2.14 Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрической системе координат. Решение задачи Дирихле для круга
Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа 
. Разделение переменных в уравнении Лапласа для задач, имеющих трансляционную симметрию по оси : 
Однозначные собственные функции 
, где –целое число. Ограниченные собственные функции 
для внутренней задачи Дирихле (
). Ограниченные собственные функции для внешней задачи Дирихле (
). Граничное условие Дирихле на границе круга радиуса : 
, – где 
– известная функция. Решение уравнения Лапласа во всем пространстве 
, ( и ), удовлетворяющее условию Дирихле.
2.15. Полиномы Чебышева 1 и 2 рода
Общая характеристика полиномов Чебышева 1 и 2 рода. Явный вид полиномов Чебышева 1 рода 
для безразмерной переменной .Тригонометрическое выражения для полиномов Чебышева 1 рода 
. Рекуррентные соотношения для полиномов Чебышева 1 рода. Квадрат нормы полиномов Чебышева 1 рода с весовой функцией 
. Дифференциальное уравнение для полиномов Чебышева 1 рода. Рекуррентные соотношения для полиномов Чебышева 1 рода. Разложение произвольной функции 
в ряд по полиномам Чебышева 1 рода. Вычисление коэффициентов разложения . Среднеквадратичное отклонение между аппроксимируемой функцией и конечным рядом 
. Полинома Чебышева 2 рода 
. Основные их свойства. Ортогональность полиномов Чебышева 2 рода с весовой функцией 
. Задача об аппроксимации функции с помощью конечного ряда либо полиномов Чебышева 1 рода, либо Полиномов Чебышева 2 рода. Вычисление коэффициентов 
и среднеквадратичных отклонений 
2.16. Функции Бесселя вещественного аргумента 
с целочисленным индексом
Разложение функции 
в ряд Фурье 
. Нахождения дифференциального уравнения для функции : 
. Доказательство линейной зависимости между функциями Бесселя с положительным и отрицательным индексом : 
. Доказательство явного вида производящей функции 
для функции Бесселя: 
. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя. Представление функции Бесселя с целочисленным индексом в виде бесконечных степенных рядов. Явный вид функций Бесселя 
и 
. Доказательство теоремы о асимптотическом вычислении сильно осциллируемых интегралов с помощью метода стационарной фазы 
для 
, причем 
, 
, где точка удовлетворяет условию . Асимптотическое значение 
: 
. Нахождение асимптотики Бесселевской функции 
с помощью метода стационарной фазы.
2.17. Функции Бесселя с произвольным значением индекса 
Уравнение для функций Бесселя c нецелочисленным индексом 
: 
. Степенные ряды для функций и 
. Асимптотика поведения и для малых и больших значений аргумента . Общее решение уравнения Бесселя 
с нецелочисленным значением индекса . Функция Бесселя второго рода 
. Второе линейно независимое решение уравнения Бесселя для целочисленных значений : 
. Общее решение уравнений Бесселя 
с целочисленным значением индекса . Асимптотика поведения 
при , асимптотика при . Функции Ханкеля первого рода 
и второго рода 
. Асимптотики 
и 
при .
2.18. Функции Бесселя полуцелого аргумента 
для вещественного аргумента . Уравнение для функций Бесселя комплексного аргумента 
.
Функции Бесселя полуцелого индекса для вещественного аргумента . Подстановка 
, которая приводит уравнение для функций Бесселя с индексом : 
к дифференциальному уравнению 
. Решения этого уравнения для : 
; 
.
Уравнение Бесселя для комплексного аргумента 
: 
. Введение функций 
; 
. Асимптотики поведения 
, 
при малых и больших значениях аргумента. Задача об интегральном представлении функции 
и ее асимптотиках при и .
