Глава 2. Специальные функции в математической физике

Математическая физика. Часть 2.

(курс предназначен для студентов  физических специальностей ИФНИТ в осеннем семестре 3 курса)

 

Глава 1. Введение

1.1.  Предмет математической физики

Основные задачи математической физики. Предметом математической физики является: постановка задач, вывод уравнений, определение граничных и начальных условий; классификация уравнении МФ, определение корректности задач; построение аналитических методов решения задач МФ; построение численных методов решения задач МФ, физическая интерпретация результатов. Основные обозначения в МФ.

1.2.  Декартовая, цилиндрическая  и сферическая системы координат

Характеристика радиуса вектора в декартовой системе координат . Ортогональные орты в декартовой системе координат. Элемент поверхности  и элемент объема  в декартовой системе координат. Правило суммирования Эйнштейна по дважды повторяющемуся индексу . Цилиндрическая система координат . Связь декартовых и цилиндрических компонент вектора . Якобиан перехода от декартовой к цилиндрической системе координат. Элемент поверхности и элемент объема в цилиндрической системе координат. Площадь круга радиуса  , величина боковой поверхности цилиндра, радиус которого равен , а высота цилиндра равна . Вычисление объема цилиндра . Порядок интегрирования функций в цилиндрической системе координат. Связь декартовых компонент  с компонентами вектора в сферической системе координат . Элементы поверхности и элементы объема в сферической системе координат. Якобиан перехода от декартовой к сферической системе координат. Поверхности сферы радиуса , объем сферы радиуса . Порядок интегрирования функций в сферической системе координат.

 

1.3  Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство

Определения скалярное произведение двух векторов. Символ Кронекера. Выражение скалярного произведения декартовых ортов через символ Кронекера. Выражение для скалярного произведения двух векторов с помощью правила суммирования Эйнштейна. Свойства символа Кронекера. Угол между двумя единичными векторами   и , характеризующимися своими координатами в сферической системе координат   и . Матрица перехода от ортов цилиндрической   системы координат к ортам декартовой системы координат . Дифференцирование по времени ортов цилиндрической системы координат , . Вычисление частных производных , , , . Матрица перехода от ортов cферической   системы координат к ортам декартовой системы координат . Вычисление частных производных , , , . , . Пространство , где  – размерность пространства. Понятие евклидова пространства – конечномерного векторного пространства, в котором определено скалярное произведение. Скалярное произведение в евклидовом пространстве. Квадрат нормы вектора в  – мерном евклидовом пространстве. 

 

1.4  Векторное, смешанное и двойное векторное произведение

Определение векторного произведения. Таблица векторного произведение декартовых ортов. Символ Леви-Чевита . Выражение для векторного произведения декартовых ортов через Символ Леви-Чивита. Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение векторов. Доказательство свойств символов Леви-Чивита.

 

1.5  Тензорное исчисление

Поворот системы координат, где  –орты старой системы координат,   –орты новой системы координат, повернутой относительно старой на некоторые углы. Условие ортогональности ортов  в старой и новой системах координат . Запись вектора  в старой системе координат ,  и в новой системе координат  . Выражение для компонент вектора в новой системе координат , через  –косинусы  углов  между вектором   в новой системе координат, и вектором   в старой системе координат. Вывод правил суммирования для косинусов  и . Понятие инвариантности. Понятие скаляра, Понятие вектора (тензора 1 ранга). Понятие тензора 2 ранга. Понятие симметричного и антисимметричного тензора. Задача о произведении симметричного на антисимметричный тензор. Задача о инвариантности соотношений равенства между векторами и тензорами в старой и новой системах координат. Задача об инвариантности скалярного произведения. Закон связи двух векторов в анизотропной среде с помощью тензора 2 ранга. Задача об инвариантности шпура (суммы диагональных матричных элементов) тензора второго ранга.

 

1.6. Векторный анализ в декартовой системе координат

Понятие скалярного поля . Понятие поверхностей постоянного уровня для скалярного поля. Понятие плоской волны , где  – волновой вектор,  – радиус вектор, у которой фаза   представляет собой уравнение плоскости. Понятие векторного поля . Примеры скалярных и векторных полей в математической физике. Операция градиента для скалярного поля в декартовой системе координат. Оператор Гамильтона . Операция дивергенции вектора в декартовой системе координат. Операция ротора вектора в декартовой системе координат. Понятие оператора импульса . Действие оператора импульса на плоскую волну . Операции векторного анализа: , , . Вид оператора Лапласа в декартовой системе координат . Теорема Остроградского-Гаусса. Следствия из теоремы Остроградского Гаусса. Формула Грина. Теорема Стокса.

1.7. Криволинейные координаты. Операции , , ,   в цилиндрической и сферической системах координат.

Криволинейные координаты, Якобиан перехода от переменных , Координатные поверхности . Координатные линии – как линии пересечения двух координатных плоскостей. Квадрат элемента длины в декартовой системе координат. Квадрат элемента длины в цилиндрической системе координат (ЦСK). Определение коэффициентов Ламе в ортогональной системе координат. Коэффициенты Ламе в ЦСК. Выражение для градиента и для оператора Лапласа в ЦСК. Выражение для лапласиана в ЦСК системе координат, угловая часть, которого выражен через безразмерный оператор  проекции момента, где оператор вектора момента импульса  имеет вид , где оператор импульса , оператор проекции момента импульса   на оси    равен .

Выражения для градиента и лапласиана в произвольной ортогональной системе координат. Координатные поверхности и координатные линии в ЦСК. Квадрат элемента длины в сферической системе координат (ССК). Коэффициенты Ламе в (ССК). Выражения для градиента и оператора Лапласа в (ССК). Координатные поверхности и координатные линии в (ССК). Вывод выражения для оператора Лапласа в (ССК) , где оператор . Оператор  – представляет собой безразмерный оператор момента импульса.

Глава 2. Специальные функции в математической физике

2.1. Гамма и бета функция

Определение Гамма-Функции  – интеграла Эйлера 2 рода. Условие сходимости Гамма-Функции при . Вывод выражения соотношения . Значения Гамма функции для целых значений аргумента. Выводы выражения , где , величина . Определение Бета функции (интеграл Эйлера 1 рода) , где . Вывод соотношения .

 

2.2 Формула Стирлинга. Объем сферы единичного радиуса  в   мерном евклидовом пространстве

Изложение метода перевала, использующегося для вычисления интеграла , где   непрерывная функция, вещественный параметр , и непрерывная функции , имеет минимум в точке , где . Выражения для   через Гамма функцию, где . Вычисление интеграла с Гамма функцией методом перевала для нахождения формулы Стирлинга . Получение формулы для объема   мерной сферы в евклидовом пространстве, имеющей радиус .

 

2.3. Интеграл вероятности и интеграл Досона

Определение интеграла вероятности  . Нечетность  интеграла вероятности. Асимптотическое поведения интеграла вероятностей  для , и . График интеграла вероятности  Явный вид полиномов  для , удовлетворяющих соотношению . Определение интеграла Досона .  График и асимптотика интеграла Досона  для , и .

 

2.4. Гильбертово пространство

Операторы в математической физике. Линейные операторы. Определение гильбертова пространства. Определение скалярного произведения комплексных функций в гильбертовом пространстве. Свойство скалярного произведения. Понятие нормы комплексной функции. Уравнения на собственные функции  и собственные значения  оператора : . Ортогональность собственных функций. Орты гильбертова пространства . Разложение произвольной функции   в ряд по ортам гильбертова пространства : . Выражение для коэффициентов разложения . Разложение функции  в ряд по  ортогональной системе функций . Вывод выражения для коэффициентов разложения . Условие полноты базиса собственных функций в гильбертовом пространстве.

 

2.5 Операторы в гильбертовом пространстве

Единичный оператор. Произведение операторов, Обратный оператор. Комплексно сопряженные операторы . Транспонированные операторы . Эрмитовски сопряженный оператор . Самосопряженные или эрмитовы операторы . Задача о нахождении собственных функций и собственных значений эрмитового оператора. Доказательство теоремы о вещественности собственных значений эрмитового оператора и о том, что собственные функции эрмитового оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Унитарный оператор. Задачи о транспонированном операторе  для оператора, представляющего собой произведение двух операторов . Задача о доказательстве  свойств эрмитовых операторов: оператора импульса  и оператора лапласиана . Задача о собственных значениях унитарного оператора. Задача о инвариантности скалярного произведения унитарного оператора. 

 

2.6.  Обобщенные функции математической физики. Дельта функция Дирака. Тета функция

Определение дельта функции . Интеграл от произведения \ и непрерывной  в симметричных пределах . Дельтаобразные последовательности , зависящие от бесконечно малого параметра , которые моделируют дельта функцию . Свойства . Производная дельта функции. Ступенчатая Тета функция  и ее связь с дельта функцией. Разложение  в интеграл Фурье. Фурье компонента дельта функции. Определение монохроматических волн – функций, зависящих от времени , представляющих собой колебание с фиксированной частотой : = . Ортогональность двух монохроматических волн с различными частотами  и , выражающихся через дельта функцию. Трехмерная дельта функция . Определение плоских волн – функций, зависящих от времени , с волновым вектором : = . Разложение трехмерной дельта функции   в интеграл Фурье. Ортогональность плоских волн с различными  и . Решение задачи о скалярном потенциале точечного заряда. Дельта функция в цилиндрической и сферической системах координат.

 

2.7. Ряды Фурье

Формулы разложения произвольной функции  в ряд по ортогональной системе функцию . Введение безразмерных переменных для радиус векторов и моментов времени, которые позволяют свести  задачу к безразмерной переменной , или к безразмерной переменной . Понятие рядов Фурье. Ортонормированность базиса тригонометрических функций  для  с весовой функцией . Выражение для Фурье коэффициентов  в этом базисе. Ортонормированность ортогональных функций   для  с весовой функцией . Условия Дирихле для функции, имеющей точки разрыва. Теорема Дирихле о возможности разложения в ряд Фурье функции, удовлетворяющей условию Дирихле.  Равенство Парсеваля, устанавливающее соответствие между квадратом нормы функции  и суммой квадратов модулей Фурье коэффициентов . Доказательство неравенства Бесселя, утверждающего, что возникающая погрешность между функцией  и аппроксимацией  рядом Фурье с конечным количеством слагаемых, будет минимальна, при условии . Задачи на вычисление коэффициентов Фурье различных функций , где функция  определяет знак переменной : , если ; , если ; , если . Зависимость   среднеквадратичного отклонения между   и  в зависимости от номера    для различных .

 

2.8. Задача Штурма-Лиувилля о нахождении собственных значений и  собственных функций  уравнений математической физики

Формулировка задачи Штурма-Лиувилля решения однородного дифференциального уравнения ,

где  – искомая функция,  – известные функции,  –весовая функция. Понятие собственных значений  и собственных функций . Простановка задач математической физики. Условия корректности Адамара. Классификация граничных задач уравнений математической физики: первая краевая задача (задача Дирихле); вторая краевая задача (задача Неймана); третья краевая задача (смешанная задача). Условие ограниченности решений  для аргументов , . Начальные условия уравнений математической физики (задача Коши). Задача о нахождении собственных значений  и собственных функций  одномерного стационарного уравнения Шредингера для частицы, помещенной в бесконечную потенциальную яму ширины , с граничными условиями для волновой функции ;  (задача Дирихле). Задача о разложении  произвольной волновой функции  в бесконечной яме по собственным функциям : . Нахождение коэффициентов . Задача о нахождении собственных значений  и собственных функций  стационарного одномерного уравнения Шредингера для частицы, помещенной в потенциальную  конечной высоты , причем ширина ямы равна : , если ; , если . 

 

2.9. Задача Штурма-Лиувилля для нахождения собственных значений и собственных функций стационарного одномерного уравнения Шредингера для частицы с энергией , находящейся в потенциале   (задача гармонического осциллятора) 

    Поведение волновых функций  в различных потенциалах  для инфинитного движения (непрерывный спектр собственных значений), полуфинитного движения и финитного движения (дискретный ряд собственных значений. Введения характерного масштаба изменения волновой функции , безразмерной переменной   и приведение уравнения Шредингера  для гармонического осциллятора к виду , где . Подстановка  и дифференциальное уравнение для функции . Степенной ряд для функции . Рекуррентные соотношения для коэффициентов степенного ряда. Условие ограниченности функции   при . Нахождение собственных значений . Дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита .

 

2.10. Свойство полиномов Эрмита

Вывод формулы Родрига для получения явного вида полиномов Эрмита . Определение константы нормировки  волновой функции . Квадрат нормы полиномов Эрмита. Производящая функция для полиномов Эрмита. Вывод рекуррентных соотношений для полиномов Эрмита: , . Задача: получить рекуррентные соотношения для нормированных волновых функций  задачи гармонического осциллятора. Задача: вычислить матричные элементы  операторов  =  по волновым функциям гармонического осциллятора . Задача об операторах рождения  и уничтожения  в квантовой задаче о гармоническом осцилляторе.

 

2.11. Полиномы Лежандра

Разложение  в ряд по полиномам Лежандра, , ,  – безразмерная переменная. Преобразование оператора . Явный вид полиномов Лежандра: , , . Ортогональность полиномов Лежандра.  Переход от угловой части в операторе Лапласа, записанного в сферической системе координат, к безразмерной переменной . Собственные функции  и собственные значения  уравнения . Формула Родрига для полиномов Лежандра . Собственные значения  уравнения для полиномов Лежандра. Уравнения для производящей функции  для полиномов Лежандра, в которых производящая функция равняется . Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра, получающиеся из уравнений для производящей функции . Вычисление нормы для полиномов Лежандра. Аппроксимация произвольных функций , заданной на интервале аргумента . Вычисление коэффициентов . Среднеквадратическая ошибка  между функцией  и ее аппроксимацией  с помощью конечного ряда полиномов Лежандра . Задача: аппроксимация функции , вычисление коэффициентов . Нахождение .

 

 

2.12  Присоединенные полиномы Лежандра. Сферические гармоники

Нахождение собственных чисел  и собственных функций   уравнения  для целых значений   и условиях ограниченности функции . Случай . Использование подстановки  для получения дифференциального уравнения для : . Доказательство того, что уравнению для  удовлетворяют присоединенные полиномы Лежандра , где   полиномы Лежандра, а собственные числа . Доказательство соотношения . Ортогональность присоединенных полиномов Лежандра  и  одинаковым значением  и различными значениями   и .

 

2.13. Метод Фурье. Разделение переменных в уравнении Лапласа в сферической системе координат

Метод разделения переменных (метод Фурье) для стационарного уравнения Шредингера. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа  в случае сферической симметрии . Разделение переменных для уравнения Лапласа  в случае, если функция  имеет азимутальную симметрию и не зависит от угла . Разделение переменных в уравнении Лапласа, в случае, если функция . Однозначные собственные функции оператора . Уравнение для функции . Ортонормированные сферические гармоники   и их ортогональность. Оператор Лапласа в сферической системе координат , где оператор .   Сферические гармоники , как собственные функции уравнений , . Явный вид сферических гармоник , , , . Общее решение уравнения  для функции . Теорема сложения для сферических гармоник . Задачa об определении скалярного потенциала во всем пространстве, если существует идеально проводящая сфера радиуса , на поверхности которой выполняется условие , а также точечный заряд , находящейся на оси    в точке . Задача об определении скалярного потенциала во всем пространстве от сферы радиуса , помещенной в начало координат, поверхность которой заряжена с поверхностной плотностью .   

2.14 Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрической системе координат. Решение задачи Дирихле для круга

Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат. Фундаментальное решение для уравнения Лапласа . Разделение переменных в уравнении Лапласа для задач, имеющих трансляционную симметрию по оси :  Однозначные собственные функции , где  –целое число. Ограниченные собственные функции  для внутренней задачи Дирихле (). Ограниченные собственные функции  для внешней задачи Дирихле (). Граничное условие Дирихле на границе круга радиуса : , – где  – известная функция. Решение уравнения Лапласа во всем пространстве , (   и  ), удовлетворяющее условию Дирихле.

 

2.15. Полиномы Чебышева 1 и 2 рода

Общая характеристика полиномов Чебышева 1 и 2 рода. Явный вид полиномов Чебышева 1 рода  для безразмерной переменной  .Тригонометрическое выражения для полиномов Чебышева 1 рода . Рекуррентные соотношения для полиномов Чебышева 1 рода. Квадрат нормы полиномов Чебышева 1 рода с весовой функцией . Дифференциальное уравнение для полиномов Чебышева 1 рода. Рекуррентные соотношения для полиномов Чебышева 1 рода. Разложение произвольной функции  в ряд по полиномам Чебышева 1 рода. Вычисление коэффициентов разложения . Среднеквадратичное отклонение   между аппроксимируемой функцией  и конечным рядом . Полинома Чебышева 2 рода . Основные их свойства. Ортогональность полиномов Чебышева  2 рода с весовой функцией . Задача об аппроксимации функции  с помощью конечного ряда либо полиномов Чебышева 1 рода, либо Полиномов Чебышева 2 рода. Вычисление коэффициентов    и среднеквадратичных отклонений  

 

2.16. Функции Бесселя вещественного аргумента   с целочисленным индексом  

Разложение функции  в ряд Фурье . Нахождения дифференциального уравнения для функции : . Доказательство линейной зависимости между функциями Бесселя с положительным и отрицательным индексом : . Доказательство явного вида производящей функции  для функции Бесселя: . Рекуррентные соотношения для функций Бесселя. Представление функции Бесселя с целочисленным индексом в виде бесконечных степенных рядов. Явный вид функций Бесселя  и . Доказательство теоремы о асимптотическом вычислении  сильно осциллируемых интегралов с помощью метода стационарной фазы  для , причем , , где точка  удовлетворяет условию . Асимптотическое значение : . Нахождение асимптотики Бесселевской функции  с помощью метода стационарной фазы.

 

2.17. Функции Бесселя с произвольным значением индекса  

Уравнение для функций Бесселя  c нецелочисленным индексом : . Степенные ряды для функций  и . Асимптотика поведения  и  для малых  и больших значений  аргумента . Общее решение уравнения Бесселя  с нецелочисленным значением индекса . Функция Бесселя второго рода . Второе линейно независимое решение уравнения Бесселя для целочисленных значений : . Общее решение уравнений Бесселя  с целочисленным значением индекса . Асимптотика поведения  при , асимптотика  при . Функции Ханкеля первого рода  и второго рода . Асимптотики  и  при . 

 

2.18. Функции Бесселя полуцелого аргумента  для вещественного аргумента . Уравнение для функций Бесселя комплексного аргумента .

Функции Бесселя полуцелого индекса  для вещественного аргумента . Подстановка , которая приводит уравнение для функций Бесселя с индексом :  к дифференциальному уравнению . Решения этого уравнения для  : ; .

Уравнение Бесселя для комплексного аргумента : . Введение функций ; . Асимптотики поведения ,   при малых и больших значениях аргумента. Задача об интегральном представлении функции  и ее асимптотиках при   и .