Решение систем линейных алгебраических уравнений

В общем виде СЛАУ можно записать в следующем виде

Будем рассматривать нормальную и определенную СЛАУ, т.е. систему, имеющую единственное решение и число уравнений которой равно числу неизвестных, т. е. n = m. В качестве примераграфической иллюстрации, совместной и определенной СЛАУ рассмотрим систему из двух уравнений:

2x₁ + x₂ = 3
2x₁+ 2x₂ = 4  

Ниже приведен график, иллюстрирующий единственное решение: одна точка пересечения двух прямых (рис. 42):

Рис. 42.Пример решения совместной и определенной СЛАУ

Для решения СЛАУ воспользуемся методом обратной матрицы.

Запишем систему уравнений в матричном виде:

                 

Совокупность коэффициентов системы можно представить в виде матрицы :

 

, i=1,2,3,…,n; j=1,2,3,….,n

 

Совокупность неизвестных системы и свободных членов – в виде векторов:

, i=1,2,3,…,n , i=1,2,3,…,n

 

Решить СЛАУ значить найти такие значения вектора:

,

подстановка которого в систему, обращает каждое уравнение этой системы в тождество.Умножая левую и правую части матричного уравнения на обратную матрицу , получим расчетное соотношение:

Для системы из трех уравнений найти решение методом с использованием обратной матрицы. На листе Excel в ячейках A2:C4 размещаем элементы матрицы коэффициентов системы (матрица ), в ячейках E2:E4– элементы вектора-столбца свободных членов (вектор ). Для вычисления обратной матрицы воспользуемся командой =МОБР(),  предварительно выделив ячейки A7:C9. Далее выделяем ячейки E7:E9 для вектора решения и выполняем команду =МУМНОЖ()для перемножения обратной матрицы  на вектор . На листе Excel приведена проверка правильности решения СЛАУ (рис. 43,44).

8x₁– 13x₂– 6x₃ =4

–3x₁+ 8x₂–2x₃ = 5                                

–x₁–10x₂ = –6

A=

 

Рис. 43. Решение СЛАУ с проверкой решения

Рис. 44. Окно вычисления корней

 

П Р И Л О Ж Е Н И Я

П. 1. Приложение к разделу «Построение графиков»

П.1.1. Задания: построить график функции одной переменной, x Î [-5;5]:

Вариант 1: y=–0,1x3–0,16x²+8,04x+11,78

Вариант 2: y=–0,00142x⁵+0,006x⁴+0,39x3–1,09x2–2,81x+6,19

Вариант 3:

Вариант 4: y=2*(cos(x)+2)^{^sin(x-2)-2.1};

Вариант 5: y=–0,16x³–0,15x²+7,62x+5,26

Вариант 6: y=–0,00388x⁵+0,005x⁴+0,28x³–1,03x²–4,61x+4,78

Вариант 7:

Вариант 8: y=–2*(cos(1,5x)+2,5)^sin(x-1)+1.5;

Вариант 9: y=–0,17x³–0,14x²+6,13x+18,48

Вариант 10: y=–0,00258x⁵+0,01x⁴+0,22x³–1,11x²–4,63x+7,76

Вариант 11:

Вариант 12: y=1,2(sin(x)+2,2)^{cos(x+1)-1.2;}

Вариант 13: y=–0,17x³–0,12x²+6,31x+3,83

Вариант 14: y=–0,00367x⁵+0,005x⁴+0,23x³–1,06x²–4,39x+8,99

Вариант 15:

Вариант 16: y=1,4*(0,5cos(2x)+3)^sin(x+3)-2;

Вариант 17: y=–0,13x³–0,12x²+6,63x+11,6

Вариант 18: y=–0,00185x⁵+0,008x⁴+0,27x³–1,01x²–4,80x+3,56

Вариант 19:

Вариант 20: y=1,3(0,5cos(x)+1,5)^atan(x)-1.5;

Вариант 21: y=–0,17x³–0,15x²+9,35x+12,44

Вариант 22: y=–0,00250x⁵+0,007x⁴+0,37x³–1,15x²–7,40x+6,59

Вариант 23:

Вариант 24: y=1,4*(cos(3x)+2,8)^atan(x+5)-5;

Вариант 25: y=–0,12x³–0,11x²+9,90x+6,64

Вариант 26: y=–0,00333x⁵+0,005x⁴+0,25x³–1,20x²–1,39x+2,47

Вариант 27:

Вариант 28: y=5(0,4*sin(x)+1)^{atan(x-1)-5.5};

Вариант 29: y=–0,16x³–0,13x²+8,57x+17,30

Вариант 30: y=–0,00167x⁵+0,005x⁴+0,35x³–1,13x²–2,12x+4,81

П. 1.2. Задания: построить график функции одной переменной с двумя условиями.Использовать условный оператор «если».

Вариант 1. xÎ [–1,4;1,9]:

y = ((1+|x|)^0,5)/(2+|x|) при x ≤ 0

y = (1+x)/(2+cos³(x)) при x > 0

Вариант 2. xÎ [–3,5;3,5]:

y = cos(3x)*sin(x) при x ≤ 0

y = cos²(x) – cos(3x) при x > 0

Вариант 3. xÎ[-1,7;1,5]:

y = (1+x²)^0,5при x ≤ 0

y = (1+x)/(1+(1+ e^0.2x)^(1/3)) при x > 0

Вариант 4. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 2cos(4x)*sin(2x) при x ≤ 0

y = cos²(3x) – cos(x)*sin(x) при x > 0

Вариант 5. xÎ[–2;1,8]:

y = (1 + x)/(1+ x2) при x ≤ 0

y = ((1+2x)/(1+x))^0,5 при x > 0

Вариант 6. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 3sin(3x)*cos(2x) при x ≤ 0

y = sin(x)*cos³(x) при x > 0

Вариант 7. xÎ[–1.8;1,8]:

y = (3 + sin(x))/(1+ x²) при x ≤ 0

y = 2x²cos²(x) при x > 0

Вариант 8. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 2sin(x)* cos(x) при x ≤ 0

y = sin(3x)*cos²(x) при x > 0

Вариант 9. xÎ[–2;3,5]:

y = ((1 + 2x²)/(1+ x²))^0,5при x ≤ 0

y = 2cos²(x) при x > 0

Вариант 10. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 3sin(2x)*cos(x) – cos²(3x) при x ≤ 0

y = 2cos²(2x) – 3sin(3x) при x > 0

Вариант 11. xÎ[–2;1,5]::

y = 3x + (1+x ²)^0,5при x ≤ 0

y = 2sin(3x) при x > 0

Вариант 12. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 5sin(x) cos(3x)*sin(x) при x ≤ 0

y = cos(2x) – 2sin³(x) при x > 0

Вариант 13. xÎ[–3,5;2]:

y = 3sin(x) – cos²(x) при x ≤ 0

y = 3(1+x²)^0,5 при x > 0

Вариант 14. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 2sin(x)+ 3cos(x) приx ≤ 0

y = cos²(2x) – 2sin(x) при x > 0

Вариант 15. xÎ [–1,4;1,9]:

y = (1+|x|)/((x² + x + 1)^(1/3)) при x ≤ 0

y = 1 + ln(x² + 1) при x > 0

Вариант 16. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 6sin(x)*cos(x) приx ≤ 0

y = 3cos²(x)*sin(x) при x > 0

Вариант 17. xÎ[–1,2;1,7]:

y = ((1+|x|)^0,5)/(5+|x|) при x ≤ 0

y = (1+x)/(2+cos²(x)) при x > 0

Вариант 18. xÎ [–3,5;3,5]:

y = cos(x)* sin(3x) при x ≤ 0

y = cos²(2x) – cos(3x) при x > 0

Вариант 19. xÎ[–1,5;1,7]:

y = (2+x²)^0,5при x ≤ 0

y = (1+x)/(2+(1+ e^0.3x)^(1/3)) при x > 0

Вариант 20. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 2cos(2x)*sin(4x) при x ≤ 0

y = cos²(x) – cos(x)*sin(3x) при x > 0

Вариант 21. xÎ[–1,3;1,3]:

y = (2+x)^1/3; x<0

y = sin(2x)*cos(x); x≥0

Вариант 22. xÎ [–3,5;3,5]:

y = sin(x)*cos(2x) при x ≤ 0

y = 2cos(x)*sin(x) при x > 0

Вариант 23. xÎ[–1,8;1,5]:

y = (1+|x|)^0,5 при x ≤ 0

y = (1+2x)/(1+(2+x)^1/3) при x > 0

Вариант 24. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 3sin(2x)*cos(3x) при x ≤ 0

y = cos²(x)*sin(2x) при x > 0

Вариант 25. xÎ [–1,4;1,9]:

y = ((1+|x|)^0,5)/(3+|x|) при x ≤ 0

y = (1+x)/(1+2cos²(x)) при x > 0

Вариант 26. xÎ [–3,5;3,5]:

y = cos(3x)*sin(x) при x ≤ 0

y = cos²(x) – cos(3x) при x > 0

Вариант 27. xÎ[–1,5;1,5]:

y = (1+x²)^0,5при x ≤ 0

y = (1+x)/(1+(1+ e^0.2x)^(1/3)) при x > 0

Вариант 28. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 2cos(x)* sin(4x) при x ≤ 0

y = cos³(2x) – cos(x)*sin²(x) при x > 0

Вариант 29. xÎ[–1,8;1,8]:

y = (1 + x)/(1+ 2x²) при x ≤ 0

y = ((2 + x)/(1+x))^0,5 при x > 0

Вариант 30. xÎ [–3,5;3,5]:

y = 3sin(2x)*cos(3x) при x ≤ 0

y = sin(x)*cos²(x) при x > 0

П. 1.3. Задания: построить график функции одной переменной с тремя условиями. Использовать условный оператор «если».

Вариант 1. xÎ [–2; 4], шаг 0,5:

y = 3sin(x) cos(4x)прих<–1,5       

у = cos(3x) – 4sin(x) при x Î [–1,5; 1]     

y = (1 + x)/(1+ 2x³) при х >1  

Вариант 2. xÎ [–3,5; 2,5], шаг 0,5:

y = 3sin(x)cos(4x)*sin(4x) прих<–1,5

у = cos(3x) – 4sin(x) при x Î [–1,5; 1]

y = (1 + x)/(1+ 2x³) при х >1

Вариант 3. x Î [–2; 6], шаг 0,5:

y = (0.25+x³)^1/3при x < 0

y = 2sin(3x) + cos(x); при x Î [0;3]

y = (1+x)/(1+(1+ e^-0.2x)^1/3) при x > 3

Вариант 4. xÎ [–2,6; 4,6] шаг 0,5:

y = (1+x)/(2+cos(3x)) при x Î [0,3; 3]

y = ((1+|x|)^0,5)/(2+|x|) при x < 0,3

y =e^-2x; при x >3

Вариант 5. xÎ [–2; 4], шаг 0,5:

y = (1+4x)/(2+ln(x)) при x>2

y = (1+x²)^0,5при x Î [0; 2]

y = sin(x)*cos(x); при x < 0

Вариант 6. xÎ [–6; 6], шаг 0,5:

y = (1 + x)/(1+ x²) при x < 0

y = 1 + ln(x² + 1) при x Î [0; 3]

y = ((1+2x)/(1+x))^0,5 при x > 3

Вариант 7. xÎ [–6; 6], шаг 1:

y = (3 + sin(x))/(1+ x²) при x < 0

y = 2x²cos(2x) при x Î [0; 3]

y = ((1 + 2x²)/(1+ x²))^0,5 при x >3

Вариант 8. xÎ [–2,10], шаг 1:

y = 2cos(2*x) при x < 2

y = (1+x)^1/3; x Î [2;5]

y = 3x + (1+x²)^0,5 при x >5

Вариант 9. xÎ [–2; 6], шаг 0,5:

y = 2sin(3x) при x <0

y = 3sin(x) – cos(2x) при x Î [0;3]

y = (1+|x|)/((x² + x + 1)^1/3) при x > 3

Вариант 10. xÎ [1; 6], шаг 0,5:

y =(tn(3x) –sin(2x)) при x < 3

y = 3(1+x²)^0,5при x Î[3;5]

y = 3sin(x) – cos(2x) при x >5

Вариант 11. xÎ [-10; 5], шаг 1:

y =2x³ при x < 0

y = sin(x)*cos(x); при x Î[0;3]

y = ((1+2x)/(1+x))^0,5 при x > 3

Вариант 12. x Î [–2; 6], шаг 0,5:

y = e^-2x; при x<0

y = 2sin(3x) при x Î[0;3]

y = 3(1+x²)^0,5 при x > 3

Вариант 13. xÎ [0; 11], шаг 1:

y = 2sin(3x) + cos(x); при x<3

y = 3sin(x) – cos²(x) при x Î[3;6]

y = (3 + sin(x))/(1+ x²) при x > 6

Вариант 14. xÎ [–4; 5], шаг 0,5:

y = 1 + ln(x² + 1) при x < 0

y = 3*x + (1+x²)^0,5при x Î[0;2]

y = (1+x)/(1+(1+ e^-0.2x)^1/3) при x > 2

Вариант 15. x Î [–2; 6], шаг 0,5:

y = (1+x²)^0,5 при x < 0

y = 2x²cos(2x) при x Î [0;3]

y = (1+|x|)/((x² + x + 1)^1/3) при x >3

Вариант 16. xÎ [–3,5; 3,5], шаг 0,5:

y = (1 + sin(x))/(1+ 2x²) при x < 0

y = 3x³cos(2x) при x Î [0; 2]

y = 2sin(x)* cos(x) прих>2

Вариант 17. xÎ [–3,5; 2], шаг 0,5:

у = sin(3x)*cos(2x) при х<–0,5

y = ((1 + 3x²)/(1+ 2x²))^0,5 x Î[–0,5; 1]

y = 3cos(2x) при x > 1

Вариант 18. x Î [–2,5; 2,5], шаг 0,5:

y = sin(2x)*cos(x) – cos²(2x) прих<–1,5

у = 2cos²(x) – 3sin(x) при xÎ [–1,5;1,5]

y = 2x + (3+x²)^0,5 при x >1,5

Вариант 19. xÎ [-3,5;3,5], шаг 0,5:

y = 3sin(x) при x < 0

y = 3sin(x) cos(5x)*sin(x) x Î[0; 2]

у = cos²(x) – 2sin(3x) при х>2

Вариант 20. xÎ [–1; 3], шаг 0,5:

y = sin(x) – 3cos(2x) приx< 0

y = 2(1+x³)^0,5при x Î[0;2]

y = 2sin(x)* 3cos(x) прих>2

Вариант 21. xÎ [–1,9; 1,9], шаг 0,3:

у = cos²(2x) – sin(x) при x Î [0;1]

y = (1+|x|)/(x² + 4)^1/3 при x < 0

y = 1 + ln(x + 1) при x >1

Вариант 22. xÎ [–3,5; 3,5], шаг 0,5:

y = sin(x)*cos(6x) при x >2

у = cos(2x)*sin(3x) x Î[–2; 2]

y = (2+|x|)^0,5/(3+|x|) при х<–2

Вариант 23. xÎ [–1,7; 1,2], шаг 0,1:

y = (1+x)/(5+cos(2x)) при x < 0

y = 3*cos(x)*sin(x) x Î[0; 0,8]

у = cos(2x) – cos(3x) при х >0,8

Вариант 24. xÎ [–1,5; 1,7], шаг 0,1:

y = (3+x²)^0,5 при x <-0,5

y = (1+x)/3+(1+ e^0.5x)^1/3 xÎ[–0,5;0,5]

y = 4cos(3x)*sin(2x) при x > 0,5

Вариант 25. xÎ [–2; 6], шаг 0,5:

у = cos³(x) – cos(2x)*sin(x) при x <1

y = (1 + x)/(1+ 2x³) при x Î [1;3]

y = (2 + x)/(3+x)^0,5 при x > 3

Вариант 26. xÎ [–1; 3], шаг 0,5:

y = 3sin(3x)*cos(4x) прих<0

у = sin(4x)*cos²(x) при x Î[0;1,5]

y = 2sin(2x)*cos(2x) прих>1,5

Вариант 27. xÎ [–1,7; 2,7], шаг 0,2:

y = (1 + sin(x)/(1+ 3x²) при x < 0

y = 3x²cos²(3x) при x Î[0; 1,7]

у = sin(3x)*cos²(3x) при x > 1,7

Вариант 28. xÎ [–3,5; 2,5], шаг 0,5:

y = (1 + 2x²)/(3+ 5x²)^0,5 при x < -1

y = 2cos²(2x) при x Î [–1; 2]

y = sin(2x)*cos(3x) – cos²(x) прих>2

Вариант 29. xÎ [–2,5; 3,5], шаг 0,5:

y = 4x + (4+x²)^0,5 при x < 0

y = 4sin(x) при x Î [0; 2]

у = 2cos(x) – sin²(3x) дляx > 2

Вариант 30. xÎ[–3,5; 2,5], шаг 0,5:

y = 3sin(x) cos(4x)*sin(4x) прих<–1,5

у = cos³(x) – 4sin(x) при x Î[–1,5; 1]

y = (1 + x)/(1+ 2x³) при х >1

П. 1.4. Задания: построить 2 графика в одной системе координат

Вариант 1. xÎ [–3,5;3,5], шаг 0,5:

y= 2cos(4x)*sin(2x)

z= |cox(x)*sin(x) |

Вариант 2. xÎ [–3,5;3,5], шаг 0,5:

y = |sin(4x)*cos(x)|

 z = cos(x)*sin(4x)

Вариант 3. xÎ [–4;4], шаг 1:

y = 2sin(x)

z = 3cos(2x)–sin(x)

Вариант 4. xÎ [–4;4], шаг 0,5:

y = 2sin(5x)cos(4x)

z = sin²(x)

Вариант 5. x Î [ – 3,5;3,5], шаг 0,5:

y = 2sin(2 p x)cos(p x)+sin(3 p x);

z = (1 + x)/(1+ 2 x ³) при х >1

Вариант 6. xÎ [–2;2], шаг 0,2:

y = 2sin(x)cos(x);

z = 3cos²(x)sin(x).

Вариант 7. xÎ [–3;4], шаг0,5:

y = 2sin(5x)cos(4x)

z = | cos(x)*sin(x) |

Вариант 8. x Î [ – 3,5;3,5], шаг 0,5:

y = (0,25+ x ³)^1/3

y = e ^{-2 x}

Вариант 9. xÎ [–2;2], шаг 0,2:

y =tn(3x) –sin(2x)

z = sin(x)*cos(x);

Вариант 10. xÎ [–3,5;3,5], шаг 0,5:

y = 3sin(x) – cos²(x) 

z =2x³

Вариант 11. xÎ [–5;5], шаг 0,5:

y = ((1+|x|)^0,5)/(2+|x|)  

z = 2cos²(x)

Вариант 12. xÎ [–2;2], шаг 0,2:

y = ((1 + 2x²)/(1+ x²))^0,5

z = (1+x)/(2+cos³(x))

Вариант 13. xÎ [0,1;3], шаг 0,25:

y = e^-2x

z= (1+4x)/(2+ln(x))

Вариант 14. xÎ [–2,5;2,5], шаг 0,5:

y = sin(3x)*cos²(x)

z = 2sin(3x) + cos(x)

Вариант 15. xÎ [0;5], шаг 0,5:

y = (0,25+x³)^1/3

z = (1+4x)/(2+ln(x))

Вариант 16. xÎ [0;3,6], шаг 0,3:

y = (1 + 2x²)/(3+ 5x²)^0,5

y = 3sin(x)*cos(4x)*sin(4x)

Вариант 17. xÎ [–5;5], шаг 0,5:

y = 2cos²(2x)

z = cos³(x) – 4sin(x)

Вариант 18. xÎ [–2;2], шаг 0,1:

y = sin(2x)*cos(3x) – cos²(x)

z = (1 + x)/(1+ 2x³) прих>1

Вариант 19. xÎ [–2,5;2,5], шаг 0,5:

y = 4x + (4+x²)^0,5

z = sin(x)*cos(2x)

Вариант 20. xÎ [0;3], шаг 0,25:

y = cos(3x)*sin(x)

z = cos²(x) – cos(3x)

Вариант 21. xÎ [–3;3], шаг 0,2:

y = 4sin(x)

z = 2cos(x)*sin(x)

Вариант 22. xÎ [–5;5], шаг 0,5:

у = 2cos(x) – sin²(3x)

z = | cos(x)*sin(x) |

Вариант 23. xÎ [–3,5;3,5], шаг 0,5:

y = 3sin(3x)*cos(2x)

z = sin(3x)*cos²(x)

Вариант 24. xÎ [–2;2], шаг 0,2:

y = 2cos²(2x) – 3sin(3x)

z = 2sin(3x)

Вариант 25. xÎ [–2,5;2,5], шаг 0,5:

y= 2cos(4x)*sin(2x)

z = (2+x)^1/3

Вариант 26. xÎ [0;3,6], шаг 0,3:

y = 3sin(2x)*cos(3x)

z = sin(x)*cos(2x)

Вариант 27. xÎ [–5;5], шаг 0,5:

y = 2sin(3x) + cos(x);

z = 1 + ln(x² + 1)

Вариант 28. xÎ [0;3], шаг 0,25:

y = 3x³cos(2x)

z = 3sin(x)

Вариант 29. xÎ [–2,5;2,5], шаг 0,5:

y =tn(3x) –sin(2x)

z = sin(x)*cos(6x)

Вариант 30. xÎ [–2;2], шаг 0,2:

у = cos(2x)*sin(3x)

z = cos(2x) – cos(3x)

П. 1.5. Задания: построить поверхности для x Î [ – 2,2] и y Î [ – 2,2], изменяя значения с шагом 0,5:

Вариант 1. z = x²–2y²

Вариант 2. Z=7x3–6y2

Вариант 3. z=(0,5x–5)²+2(2y–6)²

Вариант 4. z=(0,5x–3)²+(0,5y–3)²

Вариант 5. z=0,5(2x–1)²+0,7(3y–3)²

Вариант 6. z=0,5(2x-5)³+0,5(3y–5)²

Вариант 7. z=(20x–5)²+(4y–5)³

Вариант 8. z=(x-5)²+(y-6)²

Вариант 9. z=3*(x–5)²+3(y–5)²

Вариант 10. z=3(x–5)²+(y–6)²

Вариант 11. z=e^x–e^y

Вариант 12. z=2х³–3y²

Вариант 13. z = 3x²(y)–5y²

Вариант 14. z = 3x²–2sin²y

Вариант 15. где а=2, b =3

Вариант 16.

 

Вариант 17. x²+ y² + z² = 4² Сфера

Вариант 18. x²/a² + y²/b² - z²/c² = –1 Гиперболоид а=3, b =2, c =1

Вариант 19. x²/a² + y²/b² – z²/c² = 0 Квадратичный конус. а=3, b =2, c =1

Вариант 20. z =x²–6y²

Вариант 21.

Вариант 22.

Вариант23. z=3⋅e^{−(x−2)2−(y−4)}

Вариант 24. z =10x²–5y²

Вариант 25. z =sin(x*y)

Вариант 26.

Вариант 27. z=x²–y²–6

Вариант 28.

Вариант 29. Z=x³*y–y³*x

Вариант 30. Z=11.83+19.406*x–11.323*y–5.17*x²–4.563*x*y+2.351*y²

 

П.1.6. Задание: построить график экспериментальной зависимости давления насыщенных паров для каждого вещества от температуры. Задать легенду графика, сделать подписи по осям. построить линию тренда для каждого из графиков, определить ее параметры и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R ². Показать уравнение на диаграмме.

 

Таблица П.1