Пример графического решения

Решить графически задачу ЛП, заданную в канонической форме:

                   (6)

                                  (7)

                                                       (8)

Число уравнений задачи m=3, число неизвестных n=5. Тогда n-m=2 и задача может быть сведена к задаче на плоскости относительно свободных переменных. Возьмем в качестве базисных переменные  и выразим их через свободные (небазисные переменные):

                                              (9)

По условию (8) переменные могут принимать только неотрицательные значения, т. е. допустимой областью задачи ЛП (6) - (8) будет область, определяемая условиями (8), (9), или

                                         (10)

Чтобы получить задачу ЛП относительно переменных , подставим значения базисных переменных (9) в целевую функцию (6). В результате получим

                                    (11)

Задача (10), (11) эквивалентна задаче (6) - (8), поэтому решая графически задачу (10), (11), получим решение задачи (6) - (8).

Этап 1. Построение допустимой области.

Каждое из неравенств (10) определяет некоторую полуплоскость :

Так, неравенство  определяет правую полуплоскость. Неравенство  определяет полуплоскость, лежащую по ту сторону от прямой , где . Подставляя значения  в это неравенство, получим 0>-2, значит, координаты (0,0) удовлетворяют первому неравенству (10) и область решений этого неравенства включает начало координат. Аналогично определяют полуплоскости остальных неравенств (10).

На рисунке прямые, соответствующие условию , отмечены цифрой в скобках.

Получили допустимую область M – выпуклый пятиугольник OABCD.

Этап 2. В допустимой области M находим оптимальное решение.

Строим прямую  и определяем направление возрастания функции , это направление вектора . Перемещая прямую L параллельно самой себе в направлении вектора  до тех пор, пока она будет сохранять общие точки с областью допустимых решений, найдем, что в крайнем возможном положении прямая L пройдет через точку . Этому положению прямой L соответствует значение . Для нахождения координат точки  необходимо совместно решить систему уравнений граничных прямых, на которых лежит точка :

В результате получаем искомое оптимальное решение . Подставляя значения  и  в целевую функцию и в равенства (9), получим оптимальное значение целевой функции  и оптимальное решение:

Численные методы решения задач ЛП

Симплекс-метод

Рассмотрим задачу ЛП в канонической форме:

                    (12)

                                        

………………………                                    (13)  

                                 (14)

Будем предполагать, что  (иначе, умножим соответствующее уравнение на -1, уравнения системы (13) линейно независимы, m<n и система (13) - (14) совместна.

При сделанных предположениях можно выбрать m неизвестных (к примеру ) таких, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, не обращался в ноль. Тогда задача (12) - (14) может быть приведена к виду, который называется специальной формой задачи ЛП:

                              

……………………………………..                        (15)  

Одно из допустимых решений этой задачи можно найти, если переменные  положить равными нулю. Такое решение называется допустимым базисным решением. Оно имеет вид

.

Этому решению соответствует значение целевой функции . Переменные  называют базисными, набор переменных  называют базисом, а переменные  называют небазисными или свободными. Число возможных базисов в задаче размерности n с m ограничениями не превосходит величину .

Известно, что каждому допустимому базисному решению соответствует вершина многоугольника допустимых решений и оптимальное решение задачи (при условии его существования) достигается в одной из вершин многоугольника. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП находится среди допустимых базисных решений. Существуют рациональные способы последовательного перебора допустимых базисных решений, которые позволяют рассматривать не все допустимые базисные решения, а их минимальное число. К таким методам относится симплекс-метод [1,2,3].