Краткая теория эксперимента

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела:   

                                              , где

- момент количества движения твердого тела,

- момент внешних сил, действующих на тело.

Для однородного тела, вращающегося относительно оси симметрии этого тела,

                                          , где

- угловая скорость. Вектор направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта.

В этом случае

                     , или

Отсюда , где

- момент внешней силы  относительно данной оси вращения, то есть проекция вектора момента внешней силы  на данную ось вращения (направление вектора коллинеарно оси вращения);

- угловое ускорение (направление вектора коллинеарно оси вращения и совпадает с направлением вектора ).

Таким образом, в рассматриваемом случае основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

Если на тело, имеющее ось вращения (совпадающую с осью симметрии данного тела), действует сила, то это тело приобретает угловое ускорение , величина которого прямо пропорциональна моменту действующей силы относительно данной оси вращения и обратно пропорциональна моменту инерции этого тела относительно той же оси вращения.

Согласно этому закону для какого-либо тела с неизменным моментом инерции относительно выбранной оси вращения (оси симметрии данного тела) величина углового ускорения линейно зависит от величины момента действующей силы относительно данной оси вращения, то есть . Линейная зависимость углового ускорения  от величины  может быть проверена экспериментально с помощью «прибора  Обербека».

 

             

              Рис. 1. Принципиальная схема «прибора Обербека»

 

Прибор Обербека состоит их металлического «креста», способного вращаться вокруг неподвижной оси под действием силы натяжения Т разматывающейся нити, на которой подвешен груз массой m.

Используя набор грузов с разными массами m₁, m₂, m₃  …, с помощью прибора Обербека можно определить в результате косвенных измерений моменты сил натяжения нити:  и соответствующие им величины углового ускорения

По точкам  можно построить экспериментальную графическую зависимость  и проверить ее соответствие линейной зависимости.

Момент силы натяжения нити Т можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения груза m:

                                            , где

a – ускорение, с которым движется груз,

F – сила, вызывающая это ускорение.

Отсюда , а момент этой силы относительно оси вращения , где   r - плечо силы Т (радиус шкива).

Так как угловое ускорение , то экспериментальная часть данной работы состоит в определении радиуса шкива r и линейного ускорения движения груза m. Радиус шкива r определяется с помощью штангенциркуля. Все ускорения a можно определить опытным путем с использованием формулы , получаемой из , где

h – путь, пройденный грузом за время t после начала движения с ускорением a.

Таким образом, для определения величины ускорения a  необходимо провести измерения пути   h и времени  t  движения груза    m.

Порядок выполнения работы

1. Подготовим таблицы  для результатов измерений

                                                                                             Таблица 1

, м	, м		, м	, м

 

                                                                                              Таблица 2

N	m	m, кг	t1 , c	t2 , c	t3 , c	t4 , c	t5 , c	t ср , c	D t, c	d t
1	m 1	0,1
2	m 2	0,2
3	m 3	0,3
4	m 4	0,4

 

                                                                                              Таблица 3

 

N	m	a, м/с2	M,  Н×м	d M	D M,  Н×м	e,  рад/с2	d e	D e,  рад/с2
1	m 1
2	m 2
3	m 3
4	m 4

 

 

2. Установим все четыре груза Е (рис.1) в крайнем, дальнем от оси вращения положении и закрепим их винтами.

3. Измерим диаметр шкива и определим радиус шкива . Занесем его значение в табл. 1.

4. Намотаем нить на шкив и к свободному концу нити подвесим груз m. Измерим расстояние от верхнего положения груза m по пола. (Для проведения измерений и расчетов удобно, чтобы груз m в каждом опыте проходил одно и то же расстояние h от верхнего, выбираемого нами уровня, до нижнего уровня - пола.)

5. Рассчитаем абсолютную и относительную погрешности определения радиуса шкива r и высоты  h. Абсолютные погрешности    и  принимаем равными половине цены наименьшего деления измерительного инструмента (штангенциркуля и линейки соответственно), относительную погрешности определяем по формулам: , .

6. Используя последовательно грузы m = m₁, m₂, m₃, m₄, определим время их прохождения пути h. Время движения груза m измерим с помощью секундомера, причем для уменьшения погрешности измерения времени для каждого груза m = m₁, m₂, m₃, m₄    проведем по пять опытов и измерений t ₁, t ₂, t ₃, t ₄, t ₅. Для каждого груза найдем среднее значение времени движения, как среднее арифметическое значение пяти последовательных измерений: .

 Абсолютная погрешность измерения времени  в каждом опыте (m = m₁, m₂, m₃, m₄): 

(n=5).

Относительная погрешность измерения времени:

для каждого из четырех опытов (m = m₁, m₂, m₃, m₄).

    7. По найденным значениям t _ср1,   t _ср2, t _ср3,   t _ср4 для каждого груза m₁, m₂, m₃, m₄  вычислим соответствующие значения а₁, а₂, а₃, а₄, используя формулу .

    8. По полученным значениям а₁, а₂, а₃, а₄ рассчитаем соответствующие значения момента силы (): М₁, М₂, М₃, М₄  и углового ускорения (): e ₁, e ₂, e ₃, e ₄  .

    Таким образом, экспериментально получены координаты точек (М₁, e ₁),  (М₂, e ₂), (М₃, e ₃), (М₄, e ₄).

    9. Оценим погрешности экспериментального определения    моментов сил М₁, М₂, М₃, М₄  и углового ускорения e ₁, e ₂, e ₃, e ₄. Поскольку определение величин моментов сил М и величины углового ускорения следует e из косвенных измерений, то используем зависимости относительной погрешности dМ и de от относительных погрешностей  dr, dh, dt: 

    , , где .

    Вычислив относительные погрешности d М₁, d М₂,d М₃, d М₄  и d e ₁, d e ₂,d e ₃, d e ₄, получим абсолютные погрешности измерения моментов сил М и углового ускорения e соответственно D М₁, D М₂,D М₃, D М₄  и D e ₁, D e ₂,D e ₃, D e ₄, используя формулы:  и .

     10. По точкам (М₁, e ₁), (М₂, e ₂), (М₃, e ₃), (М₄, e ₄) с учетом погрешностей экспериментального определения ускорения построим и проанализируем график зависимости .

 

           

Рис. 2. График экспериментальной зависимости

Контрольные вопросы

1. Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение.

2. Момент инерции материальной точки и твердого тела.

3. Теорема Штейнера.

4. Момент силы. Плечо силы.

5. Момент количества движения.

6. Основной закон динамики вращательного движения.

7. График зависимости  в данной работе не проходит через начало координат! Почему?