В реальном колебательном контуре учитывается, что, кроме катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С, в цепи также имеется резистор сопротивлением R,отличным от нуля, что является причиной затухания колебаний в реальном колебательном контуре. Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.
Для цепи реального колебательного контура напряжения на последовательно включенных конденсаторе емкостью С и резисторе сопротивлением R складываются. Тогда с учетом закона Фарадея для цепи реального колебательного контура можно записать:
,
где 
– электродвижущая сила самоиндукции в катушке;
UC – напряжение на конденсаторе (UC = q / C);
IR – напряжения на резисторе.
Исходя из того, что I = dq / dt, получаем дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:
или 
,
где 
– коэффициент затухания колебаний (
), 
.
Решением полученного дифференциального уравнения является функция q (t), то есть уравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:
,
где q (t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;
– амплитуда затухающих колебаний заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;
q 0 – начальная амплитуда затухающих колебаний заряда на обкладках конденсатора;
– круговая (или циклическая) частота колебаний (
);
– фаза затухающих колебаний в момент времени t;
– начальная фаза затухающих колебаний.
Тема 8. Электромагнитные волны. Вектор Умова-Пойнтинга
Согласно теории Максвелла электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость 
распространения которых определяется выражением:
,
где 
и 
– соответственно электрическая и магнитная постоянные,
e и m – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды,
с – скорость света в вакууме (
).
В вакууме (e = 1, m = l) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью света(с), что согласуется с теорией Максвелла о том,
что свет представляет собой электромагнитные волны.
По теории Максвелла электромагнитные волны являются поперечными, то есть векторы 
и 
напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору 
скорости распространения волны, причем векторы , и образуют правовинтовую систему (рис. 19).
Из теории Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и колеблются в одинаковых фазах (рис. 19), то есть значения напряженностей Е и Н электрического и магнитного полей одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль, причем мгновенные значения Е и Н связаны соотношением:
.
Уравнение плоской монохроматической электромагнитной волны (индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей в соответствии с рис. 19):
,
,
где E 0 и Н 0– соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей,
w – круговая частота волны, 
(T – период колебаний),
k – волновое число, 
(
– длина волны),
j – начальная фаза колебаний (начальная фаза колебаний j имеет одинаковое значение как для колебания электрического, так и магнитного векторов, так как в электромагнитной волне эти колебания происходят в одинаковых фазах).
Энергия электромагнитных волн. Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей wэл электрического и wм магнитного полей:
.
Учитывая выражение связи между величинами Е и Н, можно получить, что суммарная плотность энергии электрического и магнитного полей:
.
Умножив плотность энергии w на скорость распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии:
.
Tax как векторы и взаимно перпендикулярны, то произведение EH совпадает с модулем вектора 
( – векторное произведение векторов и ). Кроме того, направление вектора совпадает с направлением распространения волны, то есть с направлением переноса энергии, что позволило ввести в ектор 
, равныйвекторному произведению , как вектор плотности потока электромагнитной энергии, называемый вектором Умова – Пойнтинга:
.
Модуль в ектора равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
