Построение графиков функций

Определение

Пусть дано отображение Тогда множество называется графиком отображения

Для построения графика функции, вообще говоря, необходимо использовать аппарат дифференциального исчисления. Однако в простых случаях эскиз графика может быть построен достаточно точно (т.е. с определением характерных особенностей данной функции) и без привлечения производных. Полезно начать построение с исследования основных свойств рассматриваемой функции: установления области её определения и, если возможно, области значений, проверки функции на чётность-нечётность, периодичность.

Иногда при построении эскизов графиков функций можно воспользоваться известным графиком другой функции: В приведённой ниже таблице описано, как изменится этот график при определённом преобразовании функции или её аргумента.

Функция	Преобразование графика функции
	Сдвиг вдоль оси ординат на
	Сдвиг вдоль оси абсцисс на
	Симметрия относительно оси ординат
	Симметрия относительно оси абсцисс
	Растяжение вдоль оси относительно оси в раз при либо сжатие в раз при
	Сжатие в раз при либо растяжение в раз при вдоль оси относительно оси
	Часть графика функции , расположенную ниже оси симметрично отобразить относительно оси остальную часть оставить без изменений
	Часть графика функции , лежащую справа от оси (при ), симметрично отобразить относительно оси в область , удалив при этом часть графика , лежащую слева от оси

Очевидно, что графики функций и обратной для неё совпадают. Если и для обратной функции мы обозначим аргумент через , т.е. будем рассматривать функцию , то графически это будет означать, что мы как бы переставили оси местами. Этот процесс легко осуществить, если повернуть плоскость чертежа на вокруг биссектрисы первого координатного угла. Таким образом, график функции симметричен графику функции относительно прямой .

Проиллюстрируем данную таблицу примерами.

Пример 1. Построить эскиз графика функции

После элементарных преобразований проведём следующее построение: 1) изобразим график функции 2) произведём растяжение в 3 раза вдоль оси относительно оси 3) сдвинем ось на единицу влево и ось на 4 вверх. В результате получим график данной функции (рис. 1).

Рис. 1

Пример 2. Построить эскиз графика функции

Так как то требуемый график может быть получен из графика функции путём следующих преобразований: 1) симметрично отобразить относительно оси 2) осуществить растяжение вдоль оси относительно оси в 3 раза; 3) сдвинуть ось на 2 единицы влево и ось на 4 единицы вверх. График изображён на рис. 2 (пунктиром обозначены асимптоты).

Рис. 2

Пример 3. Построить эскиз графика функции

Учитывая нечётность функции получим:

Для построения графика данной функции необходимо: 1) построить график функции ; 2) сжать его вдоль оси относительно оси в 2 раза; 3) сдвинуть ось на влево; 4) симметрично отобразить относительно оси

Полученный график представлен на рис. 3 (пунктиром изображены асимптоты – прямые ).

Рис. 3

Пример 4. Построить график функции

Областью определения данной функции является: Нуль функции: при Функция убывающая. Поэтому: 1) строим график функции 2) производим сжатие этого графика вдоль оси относительно оси в два раза; 3) отображаем график симметрично относительно оси 4) сдвигаем ось на 1,5 единицы влево вдоль оси Полученный график изображён на рис. 4 (пунктирная линия – асимптота данной функции).

Отметим здесь важный момент: величина сдвига графика вдоль оси (или оси вдоль оси ) определяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу а не к аргументу Поэтому сначала необходимо совершить преобразование к виду а при построении графика операцию сдвига вдоль оси всегда проводить после операции сжатия либо растяжения вдоль оси относительно оси

Рис. 4

Пример 5. Построить график функции

Рис.5

После простейших преобразований получим:

Теперь построим график функции затем сдвинем ось вправо на и, наконец, произведём растяжение полученного графика вдоль оси относительно оси в раз. График функции представлен на рис. 5.

Пример 6. Изобразить график функции

Выпишем цепочку требуемых преобразований:

а) б) в) г)

д) е) ж)

Необходимые операции: 1 - сжатие вдоль оси относительно оси в два раза; 2, 4, 6 – отображение части графика, лежащей справа от оси симметрично относительно оси в область и удаление части графика, лежащей слева от оси 3 – сдвиг оси влево на 5 – сдвиг оси влево на единицу.

На рис. 6 (а-е) приведены эскизы графиков соответствующих функций:

Рис. 6а Рис. 6б

Рис. 6в Рис. 6г

Рис. 6д Рис. 6е

график функции изображён на рис. 6ж.

Кроме случаев преобразования известного графика функции, представленных в таблице, существуют и другие приёмы. Например, если известен график функции то его можно использовать при построении графика ибо значения функции обратны значениям функции Это может продемонстрировать рис. 7, где представлены графики функции (пунктир), (сплошная линия).

Рис. 6ж

Рис. 7

Пример 7. Построить график функции

На рис. 8а представлен график функции (пунктиром изображены асимптоты). Значения функции обратны значениям функции на промежутках и функция убывает, - вертикальная асимптота, и - горизонтальные асимптоты графика (рис. 8б).

Рис. 8а Рис. 8б

Отобразим часть данного графика, лежащую справа от оси (т.е. при ), симметрично относительно оси в область (рис. 8в). Далее перенесём ось на единицу влево, получим

Рис. 8в Рис. 8г

график функции (рис. 8г). Наконец, часть полученного графика, лежащую справа от оси отображаем симметрично относительно оси в область На рис. 8д изображён график функции

Рис. 8д

Иногда при построении графика сложной функции удобно построить сначала графики функций и как вспомогательные.

Пример 8. Построить график функции

На рис. 9 а,б приведены графики функций и Функция определена для всех При (слева) функция а тогда при (справа) функция

Рис. 9а Рис. 9б

а значит Когда а, следовательно, (к 1 слева, оставаясь меньше единицы), при и (к 1 справа, оставаясь больше 1). Прямая является горизонтальной асимптотой функции Учитывая интервалы монотонности функций и получим, что функция является монотонно убывающей на интервалах Её график вместе с асимптотой (пунктирная линия) приведён на рис. 9в.

Пример 9. Построить график функции

Строим вспомогательные графики функций и

(рис. 10а,б). Областью определения функции являются промежутки и Функция чётная, поэтому достаточно изобразить её при . Из монотонности вспомогательных функций следует, что функция

Рис. 9в

Рис. 10а Рис. 10б

является убывающей на при и Ось является горизонтальной асимптотой функции График функции представлен на рис. 10 в.

Для некоторых функций может быть применён приём «сложения графиков», когда на основе графиков функций и

Рис.10в

строится график функции Продемонстрируем этот способ для гиперболический функций.

Функции и = , определённые на , называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Функция – нечётная, строго возрастающая, функция –чётная, строго убывающая на и строго возрастающая на , в точке имеет минимум – . Графики этих функций представлены на рисунках 11-12. Пунктирные кривые на рис. 11 отвечают функциям и , а на рис. 12 - функциям и .

Гиперболические тангенс и котангенс определяются формулами:

= , , = , , .

Обе функции нечётные, монотонно возрастает, а монотонно убывает, их графики изображены на рисунках 13,14 (пунктиром обозначены асимптоты функций):

Рис. 11 Рис. 12

Рис. 13 Рис. 14

Название этих функций – синус, косинус, тангенс, котангенс – связано с тем, что эти функции имеют ряд свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Так, имеют место формулы (обратить внимание на знаки!):

, ,

из них, в частности, при , следует:

Докажем, например, первую из этих формул:

. Так же проверяются и остальные.

Запишем ещё ряд формул для гиперболических функций:

, , , откуда , , откуда , , .

Функции и , , обратимы, их обратные функции обозначаются соответственно (ареасинус гиперболический) и (ареатангенс гиперболический). Действительно, решая уравнение

или относительно , найдём , откуда, выбирая знак «+» перед радикалом, ведь , получим .

Аналогично из уравнения или найдём , откуда , .

Графики функций и (а, значит, и найденных функций и ) изображены на рисунках 15 и 16 (пунктирные линии на рис.16 отвечают асимптотам функции ).

Рассмотрим функции и . Решая уравнение

или относительно , найдём при

Рис. 15

Рис. 16

два значения , откуда - получим двузначную функцию, которая распадается на две однозначных ветви: - обратная для на и - обратная для на . На рис. 17 изображён график функций (сплошная линия) и

(пунктирная кривая):

Рис. 17

Из уравнения или найдём: , откуда , .

График функции приведён на рис. 18 (пунктиром обозначены асимптоты данной функции).

Эпитет «гиперболический» в названии рассмотренных функций связан с тем, что формулы параметрически задают гиперболу - каноническое уравнение гиперболы.

Если требуется построить график функции то

для некоторых функций удобно использовать тот

факт, что ординаты его точек получаются перемножением ординат

точек графиков и Особенно удобно

Рис. 18

руководствоваться этим способом, если либо . Приведём пример.

Пример 10. Построить график функции

Функция нечётная, поэтому построим график при и воспользуемся симметрией относительно начала координат. Нули функции: и . Так как то и график лежит между прямыми и . При точки графика лежат на прямой а при график имеет общие точки с прямой . На промежутке - график расположен ниже графиков . В точке график пересекает график при этом . Для в точках, где . На рис. 19 приведён график функции (сплошная линия). Пунктиром изображёны графики функций и График данной функции представляет собой кривую, колеблющуюся между прямыми и

Рис. 19

Введём в рассмотрение ещё две функции, не являющиеся элементарными, но играющими в математике заметную роль.

1) (читается «сигнум »).

График этой функции представлен на рис. 20.

Рис. 20

2) Определим функцию (читается «целая часть ») следующим образом:

где - наибольшее целое, не превосходящее Иногда эту функцию обозначают Так как

где то согласно определению этой функции: Таким образом, при имеем: Рис. 21

График этой функции изображён на рис. 21.

В следующих примерах изобразить эскизы графиков функций, используя любые из вышеописанных приёмов.

Пример 11. Построить эскиз графика функции

Функция нечётная, непериодическая. Найдём нули функции: Функция имеет бесконечно много нулей, причём все они расположены на отрезке расстояние между двумя соседними нулями равно и с ростом стремится к . Таким образом, в любой окрестности точки имеется бесконечно много нулей данной функции.

если

Все точки, где сосредоточены на отрезке

При а, следовательно, График данной функции приведён на рис. 22.

Рис. 22

Пример 12. Построить график функции

Данный график может быть построен с использованием приёма перемножения ординат точек графиков функций и Изобразим сначала график функции . По определению функции имеем:

График этой функции представлен на рис. 23.

Тогда

Отметим, что рассматриваемая функция чётная, её график

Рис. 23

изображён на рис. 24.

Рис. 24

Пример 13. Построить график функции

Для построения графика данной функции воспользуемся вспомогательным графиком функции Согласно определению функции для а Поэтому - функция периодическая с периодом 1. График этой функции приведён на рис. 25. Областью её значений является промежуток . Следовательно, областью значений функции является интервал при этом функция монотонно возрастает, прямые - суть асимптоты графика рассматриваемой функции, который представлен на рис. 26.

Рис.25

Рис.26

Пример 14. Построить график функции

Начнём с построения графика функции С этой целью график функции для сместим на единицу вверх, а для сдвинем

на единицу вниз, получим график функции (рис. 27а).

Рис. 27а

Чтобы построить требуемый график , отобразим часть графика функции , расположенную ниже оси (т.е. при и ), симметрично относительно этой оси, остальную часть графика оставим без изменений. На рис. 27б изображён график функции Отметим, что данный эскиз может быть построен другим способом с помощью следующей цепочки преобразований: .