Метод половинного деления
Пример 2.4. Уточнить методом бисекций с точностью до 0,01 корень уравнения (x – 1)3 = 0, принадлежащий отрезку [0,95; 1,1].
Решение в программе Excel:
1) В ячейках A 1: F 4 введем обозначения, начальные значения и формулы, как показано в таблице 2.3.
2) Каждую формулу скопируем в нижние ячейки маркером заполнения до десятой строки, т.е. B 4 — до B 10, C 4 — до C 10, D 3 — до D 10, E 4 — до E 10, F 3 — до F 10.
Таблица 2.3
| A | B | C | D | E | F | |
| 1 |
| f(a)= | =(1-B3)^3 |
|
|
|
| 2 | k | a | x | f(x) | b | b-a |
| 3 | 1 | 0,95 | =(B3+E3)/2 | =(1-C3)^3 | 1,1 | =E3-B3 |
| 4 | 2 | =ЕСЛИ(D3=0;C3; ЕСЛИ(C$1*D3<0;B3;C3)) |
|
| =ЕСЛИ(C$1*D3>0; E3;C3) |
|
Результаты расчетов приведены в табл. 2.4. В столбце F проверяем значения длины интервала b – a. Если значение меньше чем 0,01, то в данной строке найдено приближенное значение корня с заданной погрешностью. Потребовалось 5 итераций для достижения требуемой точности. Приближенное значение корня с точностью до 0,01 после округления до трех знаков равно 1,0015625 ≈ 1,00.
Таблица 2.4
| A | B | C | D | E | F | |
| 1 |
| f(a)= | 0,000125 |
|
|
|
| 2 | k | a | x | f(x) | b | b-a |
| 3 | 1 | 0,95 | 1,025 | -2E-05 | 1,1 | 0,15 |
| 4 | 2 | 0,95 | 0,9875 | 2E-06 | 1,025 | 0,075 |
| 5 | 3 | 0,9875 | 1,00625 | -2E-07 | 1,025 | 0,0375 |
| 6 | 4 | 0,9875 | 0,996875 | 3,1E-08 | 1,00625 | 0,0187 |
| 7 | 5 | 0,996875 | 1,0015625 | -4E-09 | 1,00625 | 0,0094 |
| 8 | 6 | 0,996875 | 0,9992188 | 4,8E-10 | 1,0015625 | 0,0047 |
| 9 | 7 | 0,99921875 | 1,0003906 | -6E-11 | 1,0015625 | 0,0023 |
| 10 | 8 | 0,99921875 | 0,9998047 | 7,5E-12 | 1,000390625 | 0,0012 |
Приведенный алгоритм учитывает возможный случай «попадания в корень», т.е. равенство f (x) нулю на очередном этапе. Если в примере 2.3 взять отрезок [0,9; 1,1], то на первом же шаге попадаем в корень x = 1. Действительно, запишем в ячейке B 3 значение 0,9. Тогда таблица результатов примет вид 2.5 (приведены только 2 итерации).
Таблица 2.5
| A | B | C | D | E | F | |
| 1 |
| f(a)= | 0,001 |
|
|
|
| 2 | k | a | x | f(x) | b | b-a |
| 3 | 1 | 0,9 | 1 | 0 | 1,1 | 0,2 |
| 4 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Создадим в программе Excel пользовательские функции f(x) и bisect(a, b, eps) для решения уравнения методом половинного деления, пользуясь встроенным языком Visual Basic. Их описания приведены ниже:
Function f(Byval x): f = (x - 1) ^ 3: End Function
Function bisect(a, b, eps)
1 x = (a + b) / 2
If f(x) = 0 Then GoTo 5
If f(x) * f(a) < 0 Then
b = x
Else
a = x
End If
If Abs(a - b) > eps Then GoTo 1
5 bisect = x
End Function
Функция f(x) определяет левую часть уравнения, а функция
bisect(a, b, eps) вычисляет методом половинного деления корень уравнения f (x) = 0. Обратим внимание на то, что в функции bisect(a, b, eps) используется обращение к функции f(x). Приведем алгоритм создания пользовательcкой функции-макроса:
1) Выполним команду меню «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic». Откроется окно «Microsoft Visual Basic». Если в данном файле программы Excel ещё не были созданы макросы или пользовательские функции или процедуры, это окно будет иметь вид, изображенный на рис.2.5.
Рис. 2.5.
2) Выполним команду меню «Insert — Module» и вводим тексты программ-функции, как показано на рис 2.6.
Рис.2.6.
Теперь в ячейках листа программы Excel можно в формулах использовать созданные функции. Например, введем в ячейку D 18 формулу
=bisect(0,95;1;0,00001),
то получим значение 0,999993896.
Чтобы решить другое уравнение (с другой левой частью) нужно перейти в окно редактора с помощью команды «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic» и просто переписать описание функции f(x). Например, найдем с точностью до 0,001 корень уравнения sin5 x + x 2 – 1 = 0, принадлежащий интервалу (0,4; 0,5). Для этого изменим описание функции
Function f(x)
f = (x - 1) ^ 3
End Function
на новое описание
Function f(x)
f = Sin(5 * x) + x ^ 2 - 1
End Function
Тогда в ячейке D 18 получим значение 0,441009521 (сравните этот результат со значением корня из интервала (0,4; 0,5), найденным в примере 2.3!).
Для решения уравнения методом половинного деления в программе Mathcad создадим подпрограмму-функцию bisec (f, a, b, ε), где:
f — имя функции, соответствующее левой части уравнения f (x) = 0;
a, b — левый и правый концы отрезка [ a, b ];
ε — точность приближенного значения корня.
Решение примера в программе Mathcad:
1) Запускаем программу Mathcad. Введем определение функции bisec (f, a, b, ε). Для этого с помощью клавиатуры и панели инструментов «Греческие символы» набираем bisec (f, a, b, ε):=. После знака присваивания «:=» на панели инструментов «Программирование» указателем мыши щелкаем левой кнопкой «Add line». После знака присваивания появится вертикальная линия. Далее вводим текст программы, который приведен ниже, используя панель инструментов «Программирование» для ввода знака «←», оператора цикла while, оператора break и условного оператора if otherwise.
2) Введем определение функции f (x):=sin(5*x)+x^2–1, а затем вычислим значение корня с помощью функции bisec при заданных значениях:
bisec (f, –0.8,–0.7,0.0001)=. После знака «=» автоматически появится вычисленное программой значение корня –0,7266601563. Аналогично вычислим остальные корни.
Ниже приведен лист Mathcad с определением функции bisec (f, a, b, ε) и расчетами:
| Определим программу-фунцию метода половинного деления: |
| Зададим функцию f(x)=sin5x+x2-1 и найдем её корни в указанных интервалах с точностью 0,0001: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найденные значения корней согласуются с предыдущими результатами. Если мы определим функцию y (x) = (x – 1)3 и найдем корень в интервале (0,9; 1,1), то получим значение x = 1, так как в этом случае на первом шаге деления получается точное значение корня:
|
|
|
|
Приведем программу на языке C ++ для решения уравнения f (x) = 0 методом половинного деления:
#include <iostream.h>
#include <math.h>
#include <conio.h>
double f(double x);
typedef double (*PF)(double);
double bisec(PF f,double a, double b,double eps);
int main(){
double a, b, x, eps;PF pf;
cout << "\n a = "; cin >> a;
cout << "\n b = "; cin >> b;
cout << "\n eps = "; cin >> eps;
pf = f;
x = bisec(pf,a,b,eps); cout << "\n x = " << x;
cout << "\n Press any key "; getch();
return 0;
}
double f(double x){
double r;
r = sin(5*x)+x*x-1;
return r;
}
double bisec(PF f, double a, double b,double eps){
double x;
do{ x = (a + b)/2;
if (f(x) == 0) break;
if (f(x)*f(a)<0) b = x;
else a = x;
}while (fabs(b-a) > eps);
return x;
}
В программе функция f (x) определена для решения уравнения
sin5 x + x 2 – 1 = 0
из примера 2.3. Результат работы программы для определения корня из интервала (0,4; 0,5) с точностью 0,00001 представлен ниже (экран компьютера):
a = 0.4
b = 0.5
eps = 0.00001
x = 0.44101
Press any key
Последняя строка нужна для организации паузы для просмотра результата.
Задания для самостоятельного решения.
Для следующих уравнений
а) найти графическим способом с точностью до 0,1 интервалы, содержащие корни;
б) для каждого интервала проверить условие применимости метода итераций;
б) уточнить корни методом итераций, если выполняются условия сходимости, до точности 0,0001.
| 1. | cos 3 x – x 3 = 0. | 11. | x e– x + 3 x –5 = 0. | 21. | e x (x –5) + 3 = 0. |
| 2. | cos2 x – x 4 = 0. | 12. | e–sin x + 3 x = 0. | 22. | e– x – 3 x –5 = 0. |
| 3. | tg x + x = 1, [0; 1]. | 13. | 33– x – cos x = 0. | 23. | e2 x ∙ln x – x = 0. |
| 4. | ln(1 + x 2) – x 3 = 1. | 14. | sin(1 + x 2) = x. | 24. | tg x – ln(– x) = 0. |
| 5. | sin(e x) + 3 x = 0. | 15. | x 2 + sin2 x = 2. | 25. | x 1/3 + 2tg x = 1. (0; 3) |
| 6. | sin x /e x + x 2 – 1 = 0. | 16. | e–2 x – 3 x 3 = 0. | 26. | e–2 x – 3 x 3 = 0. |
| 7. | tg2 x + x = 1. [0; 1]. | 17. | e– cos x – x 3 = 0. | 27. | e2 x ∙tg x – x = 1. (0; 4) |
| 8. | x /(1 + x 4) = ln x. | 18. | x 2 + ln x + 2 = 0. | 28. | 1/ln x – x = 0. |
| 9. | x 3 – 2ctg x = 0. [1; 2]. | 19. | x 4 – sin2 x + x – 1 = 0. | 29. | x 5 – 2cos x = 0. |
| 10. | x 5 – 2cos x + 1 = 0. | 20. | (7 – x 2)ln x = 2 – x. | 30. | sin x – x 2 + 1 = 0. |
