Существуют два различных способа задания множества.

Можно дать полный перечень элементов этого множества. Этот способ называется перечислением множества. Элементы перечисляемого множества заключают обычно в фигурные скобки. Например, множество А, состоящее из букв русского алфавита, вместе с пробелом (его обозначают знаком ∆) запишется так: А ={ а,б,в,...,ю,я,∆ }.

Другой способ состоит в том, что задается свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий рассматриваемому множеству, и не обладает ни один элемент, ему не принадлежащий. Этот способ называют описанием множества, а свойство, определяющее множество, – характеристическим.

Пусть даны два произвольных множества A и B, тогда возможны пять случаев отношений между ними:

Множества A и B не имеют общих элементов (см. рис. 1а).

Множества A и B имеют общие элементы, но не все элементы множества A принадлежат множеству B, и не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о пересечении множеств A и B (см. рис. 1б).

Все элементы множества B принадлежат множеству A, но не все элементы множества А принадлежат множеству В. В этом случае говорят о включении множества В во множество А (см. рис. 1в).

Определение: Если имеются два множества A и B, причем каждый элемент множества В принадлежит м敲晧谠谠轎䶒죾 ǉ >sand Settings \Олега\ntuser. dat Ì 싓⹊тва A принадлежат множеству B, но не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о включении множества A во множество B (А Ì В) (см. рис. 1г).

Все элементы множества A принадлежат множеству B и все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят, что множества A и B равны (см. рис. 1д).

Определение: а) Два множества A и B называются равными (или совпадающими), если А Ì В и В Ì А.

б) Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывается это так: А = В.

Определение: Множество, относительно которого все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются подмножествами, называется универсальным. Универсальное множество будем обозначать буквой U.

Пример 1. Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1,2, 3,...

► Списком множество N задать нельзя ввиду его бесконечности.

Порождающая процедура содержит два правила:

a) 2 ε N;

б) если n ε N, то n+1 ε N.

Описание характеристического свойства элементов множества N:

N = { x: х - целое положительное число}.

Пример 2. Задать различными способами множество М всех четных чисел 2,4, 6,..., не превышающих 100.

М _2n ={2,4,6,...,100}.

а)2 ε М _2n;

б) если n ε N, то (n +2) ε M; в) n ≤ 98.

М _2n = { n: n - целое положительное число, не превышающее 100} или М _2n = { n: n ε N и n/2 ε N, n ≤ 100}.

Пример 3. Пусть U = { а, b, с }. Определить в явном виде (перечислением своих элементов) булеан β(U) - множество всех подмножеств, состоящих из элементов множества U. Какова мощность множества β(U)?

► β(U) = {Ø, { a }, { b }, { с }, { а, b), { а, с }, { b, с }, { а, b, с }}. Мощность |β(U)| = 8.

6.2 Основные операции над множествами

Основными операциями, осуществляемыми над множествами, являются сложение (объединение), умножение (пересечение) и вычитание. Эти операции, как мы увидим дальше, не тождественны одноименным операциям, производимым над числами.

Определение: Объединением (или суммой) двух множеств A и B называется множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы одного из этих множеств. Объединение множеств A и B обозначают как A È B.

Это определение означает, что сложение множеств A и B есть объединение всех их элементов в одно множество A È B. Если одни и те же элементы содержатся в обоих множествах, то в объединение эти элементы входят только по одному разу.

Аналогично определяется объединение трёх и более множеств.

Определение: Пересечением (или умножением) двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и множеству В одновременно. Пересечение множеств A и B обозначают как A Ç B.

Аналогично определяется пересечение трёх и более множеств.

Определение: Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A и которые не принадлежат множеству В. Разность множеств A и B обозначают как A \ B= . Операция, при помощи которой находится разность множеств, называется вычитанием.

Если В Ì А, то разность A \ B называется дополнением множества B до множества A. Если множество B является подмножеством универсального множества U, то дополнение B до U обозначается , то есть = U \ B.