Предел и непрерывность композиции функций

Теорема 6. Пусть функция f задана на множестве X, функция f - на множестве Y и f (X) Y. Если существуют конечные или бесконечные пределы

f (x) = y ₀,	(6.40)
g (y) = z ₀,	(6.41)

то при x x ₀ существует предел (конечный или бесконечный) сложной функции g[ f (x)], причем

g[ f (x)] =

g (y).

(6.42)

Пусть x_n x ₀, x_n X, n = 1, 2,...; тогда в силу (6.40) имеем

y_n f (x_n) y ₀, y_n Y, n = 1, 2,...

Поэтому в силу (6.41) g (y_n) z ₀, но y_n = f (x_n), следовательно, g[ f (x)] z ₀, n = 1, 2,..., т. е. имеет место равенство (6.42).

Замечание1. Если функция Y непрерывна в точке y ₀, т. е.

g (y) = g (y ₀),

(6.43)

то формулу (6.42) можно записать в виде

g[ f (x)] = g (

f (x)).

(6.44)

Иначе говоря, предельный переход перестановочен с операцией взятия непрерывной функции. В самом деле, согласно теореме 6

g[ f (x)]	=	g (y)	=	g (y ₀)	=	g ( f (x)).
	(6.42)		(6.43)		(6.40)

Отсюда следует, в частности, что непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна, точнее:
Следствие. Если функция f непрерывна в точке x ₀, а функция g непрерывна в точке y ₀ = f (x ₀), то и их композиция g f непрерывна в точке x ₀.
Действительно, непрерывность функции f в точке x ₀ означает, что

f (x) = f (x ₀) = y ₀,

(6.45)

поэтому в силу непрерывности функции g в точке y ₀ из формулы (6.44) получим

g[ f (x)]	=	g [ f (x)]	=	g f (x ₀)
	(6.44)		(6.45)

т.е. функция g f непрерывна в точке x ₀.

Замечание 2. Обычно, когда говорят, что некоторая функция в данной точке имеет предел, то имеют в виду, что этот предел конечный, а случай бесконечного предела оговаривают особо.

Непрерывность функций

Определение непрерывности по Гейне Говорят, что функция действительного переменного f(x) является непрерывной в точке a∈R (R−множество действительных чисел), если для любой последовательности {xn}, такой, чтоlimn→∞xn=a,выполняется соотношениеlimn→∞f(xn)=f(a).На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f(x) в точке x=a (которые должны выполняться одновременно):

Функция f(x) определена в точке x=a;
Предел limx→af(x) существует;
Выполняется равенство limx→af(x)=f(a).

Определение непрерывности по Коши (нотация ε−δ ) Рассмотрим функцию f(x), которая отображает множество действительных чисел R на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f(x) является непрерывной в точке a∈R, если для любого числа ε>0 существует число δ>0, такое, что для всех x∈R, удовлетворяющих соотношению|x−a|<δ,выполняется неравенство|f(x)−f(a)|<ε. Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x=a, если справедливо равенствоlimΔx→0Δy=limΔx→0[f(a+Δx)−f(a)]=0,где Δx=x−a. Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел. Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Теоремы непрерывности Теорема 1. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x=a и C является константой. Тогда функция Cf(x) также непрерывна при x=a. Теорема 2. Даны две функции f(x) и g(x), непрерывные в точке x=a. Тогда сумма этих функций f(x)+g(x) также непрерывна в точке x=a. Теорема 3. Предположим, что две функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x=a. Тогда произведение этих функцийf(x)g(x) также непрерывно в точке x=a. Теорема 4. Даны две функции f(x) и g(x), непрерывные при x=a. Тогда отношение этих функций f(x)g(x) также непрерывно при x=a при условии, что g(a)≠0. Теорема 5. Предположим, что функция f(x) является дифференцируемой в точке x=a. Тогда функция f(x)непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно). Теорема 6 (Теорема о предельном значении). Если функция f(x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a,b], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, чтоm≤f(x)≤Mдля всех x в интервале [a,b] (рисунок 1).

Рис.1 Рис.2

Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция f(x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a,b]. Тогда, если c − некоторое число, большее f(a) и меньшее f(b), то существует число x0, такое, чтоf(x0)=c.Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.