I. Учет психологических особенностей процесса образования понятий.

Л. С. Выготский, изучая закономерности умственного развития ребенка, пришел к за­ключению, что именно образование понятий является ключом к пониманию процессов психологического развития и психологичес­кого распада.

Важно подчеркнуть следующий мо­мент: усвоение понятий (как внешних ре­бенку единиц научного знания ) и образо­вание понятий (как когнитивных структур) – это не тождественные явления. Беспоко­иться, следовательно, нужно не просто об усвоении понятий, а о выстраивании в мен­тальном опыте ребенка понятийных психи­ческих структур как психологических носи­телей понятийного знания.

Этому в учебных МПИ-пособиях служат задания, направленные на развитие основ­ных компонентов (аспектов, сторон) поня­тийного мышления.

Были выделены задания нескольких ос­новных типов (хотя, безусловно, все они в той или иной мере, психологически взаимо­пересекаются между собой).

1. Задания на формирование способ­ности к словесно-образному переводу,т.е. переводу математической информации с "языка" знаково-символического на "язык" рисунков-образов разной степени обобщен­ности. В данном случае речь идет не столь­ко о развитии образной формы репрезента­ции математического знания, сколько, в пер­вую очередь, о возможности одновремен­ной работы двух основных субъективных систем кодирования и переработки инфор­мации – знаковой и визуальной. При этом учитывалось, что образный "язык" понятий­ной мысли обладает определенной специ­фикой. Так, в образах должны воспроизво­диться существенные черты соответствую­щего математического явления, образ до­лжен быть обобщенным, хорошо структури­рованным и динамичным (готовым к разно­образным трансформациям), нормативные (заданные) образы должны сочетаться с образами индивидуализированными (со­зданными самими учащимися).

К этой группе заданий относятся зада­ния, активизирующие образное мышление учащихся, формирующие умение оформлять свои мысли в знаковой форме, а также поз­воляющие осуществлять перевод с одного языка кодирования и переработки информа­ции на другой.

2. Задания на подключение предмет­ного (житейского) опыта детей.

По мне­нию Дж. Брунера, образование понятий ухо­дит своими корнями в глубинные структуры индивидуального опыта, связанного, в час­тности, с основными формами презентации реальности в человеческом сознании – че­рез действие, чувственное впечатление и знаковый символ. Поэтому, добиваясь вза­имодействия житейского опыта ребенка (в том числе и его так называемых житейских понятий) или тех научных знаний, которые предлагаются ему в учебном процессе, мы одновременно решаем две задачи: с одной стороны, под влиянием научного знания про­исходит артикулирование и обогащение ин­дивидуального опыта ребенка, с другой – многообразие порождаемых окружающим миром впечатлений начинает оказывать ак­тивное влияние на процесс образования понятий, что в целом обуславливает возмож­ность появления собственно "личностного знания".

В 5 классе предлагаются задания, в ко­торых дети сталкиваются с такими случаями из практики где "старых" чисел недостаточ­но, и это приводит к необходимости искать "новые" числа, новые пути решения старых задач.

Пример 1. "Придумайте и вырежьте из бумаги мерки, с помощью которых можно измерить:

а) длину и ширину стола, длину каран­даша, подошвы своего ботинка;

б) площадь тетради, книги;

в) выберите мерку для определения объ­ема ведра.

Запишите результаты измерений, полу­ченные с помощью ваших мерок."

С какими трудностями вы встретились при решении этой задачи?

Пример 2. "Трем портнихам дали по 16 м ткани и попросили сшить по 5 одина­ковых платьев.

Первая портниха, поразмыслив, сдела­ла себе такую запись:

16 м: 5 = 3 (ост. 1) м

Другая рассудила иначе: 160 дм: 5 = 32 дм = 3,2 м;

А третья решила сшить платье с поясом и пометила для себя: 16: 5 = 3,2

Если вы собе­ретесь шить несколько оди­наковых плать­ев, какой из способов деле­ния ткани вы выберете?"

Пример 3. "Два прогулочных теплохода совершают рейсы от одной пристани до дру­гой и обратно. Но... один теплоход плывет по реке, а другой – по озеру. Собственные скорости теплоходов и расстояния между пристанями одинаковы. Одинаковое ли вре­мя уйдет на прогулку по озеру и по реке?"

Учебные тексты содержат также различ­ные практические и лабораторные работы, привлекающие предметный опыт ребенка.

3. Задания на развития основных мыслительных операций, лежащих в ос­нове образования понятий (таких, как сравнение, конкретизация и абстраргирование). Владение мыслительными операция­ми (его субъективной мерой, по Ж. Пиаже, является феномен обратимости операций) позволяет вычленять отношения между объ­ектами мысли, что, несомненно, качествен­но расширяет субъективное пространство осмысления содержания изучаемых понятий.

Актуализируя и развивая те компоненты ментального опыта ребенка, которые высту­пают в качестве основы процесса образо­вания понятий, мы, кроме того, должны "со­брать" их воедино с тем, чтобы можно было говорить о действительности сформирован­ности понятийных структур "внутри" опыта ребенка. Этому способствовали, на наш взгляд, серии заданий, позволяющих пос­ледовательно выстраивать субъективный образ содержания соответствующего поня­тия. В этом процессе можно выделить сле­дующие основные фазы.

1. Мотивировка – создание условий для осознания учащимися необходимости нового способа описания своего предыду­щего опыта (житейского, физического, ариф­метического, алгебраического), например, за счет создания эффекта "невозможности" разрешения ситуации в силу отсутствия на данный момент адекватных понятийных средств ее анализа;

2. Категоризация – введение знаково-символического и визуального обозначения понятия с последующим постепенным уве­личением степени обобщенности знаково-символического и визуального "языков" представления его содержания, а также ори­ентация ребенка на выделение отличитель­ных частных и общих (несущественных и существенных) признаков соответствующе­го понятия;

3. Обогащение – накопление и диффе­ренциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания (за счет вклю­чения разных вариантов его интерпретации, увеличения числа варьирующих по степени существенности признаков, наращивания межпонятийных связей, использование альтернативных контекстов его анализа и т.д.);

4. Перенос – применение усваиваемо­го понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраива­ния отдельных аспектов его содержания;

5. Свертывание – экстренная реоргани­зация всего множества имеющихся у ребен­ка сведений относительно данного понятия л превращение их в обобщенную знаниевую структуру. Иными словами, развернутый на предыдущих фазах субъективный образ по­нятия на этой фазе может обеспечиваться такими приемами, как создание "бессмыс­ленных" ситуаций (например, в условиях вы­нужденного выполнения долгих, громоздких вычислений), работа с "пустыми" заданиями типа "Составь рекламу для изучения обыкно­венных дробей", организация цейтнота и т.д.

Таким образом, образование понятийных структур, выступающих в качестве носите­лей понятийного знания, в предлагаемых учебных текстах контролируется в двух ос­новных аспектах: с точки зрения учета ос­новных компонентов понятийного мышления и с точки зрения пофазной динамики про­цесса образований понятий.

В качестве примера рассмотрим вкратце содержание основных фаз фор­мирования понятия "рационального чис­ла", последовательность которых учиты­валась при конструировании текста учеб­ного пособия "Сказка про Елену Прекрас­ную, Ивана-Царевича и рациональные числа" (6-й класс).

Мотивировка. Ребенок вместе с Иваном-Царевичем попадает в необычное царство Елены Прекрасной, где жители используют только лишь одни дробные числа.

Герою, оказавшемуся в новой, непривычной обстановке, нужно разобраться, что это за числа такие, и как они соотносятся с извес­тными ему числами, которые в его, Ивано­вом царстве, хождение имеют: натуральны­ми числами 1, 2, 3, 4, 7, 9..., десятичными дробями 0,25; 5,7000; 800,333...

Категоризация. Вводятся новые терми­ны: сначала – "числитель", "знаменатель", "обыкновенная дробь", затем – "рациональ­ное число". Одновременно вводится визуальный ряд, характеризующий отличительные признаки рационального числа в виде раз­нообразных предметных моделей (разрезан­ного на доли пирога, безразмерного мешка с дробями и т.п.) и нормативных образов (луча, числовой прямой, отрезка и т.п.).

Обогащение. Чтобы уверенно ориенти­роваться в мире чисел вида а/Ь, ребенку с героем приходится осваивать целый ряд до­полнительных характеристик этого матема­тического объекта, таких как "сократимая дробь", "несократимая дробь", "правильная дробь", "неправильная дробь", "смешанное число" и т.д. Кроме того, ребенок приобре­тает новые процедурные знания, то есть, следую тексту, он пересматривает извест­ные ему операции над числами примени­тельно к действиям с новыми числами. Да­лее, обогащению содержания понятия "ра­ционального числа" способствует знакомст­во ребенка с ситуацией, в которой он может убедиться в том, что между двумя рациональ­ными числами (19 и 20) помещается сколь­ко угодно других чисел, и т.д.

Перенос. В тексте создаются условия для самостоятельного переноса усвоенных понятий, касающихся рационального положи­тельного числа, на числа, расположенные левее нуля на числовой оси. В дальнейшем в учебном пособии "Алгебраические дро­би" знания о числе вида а/Ь ис­пользуются в качестве основы для построе­ния теории математических объектов вида А/В, где Аи В – многочлены.

Свертывание. В итоге накопленные све­дения о рациональном числе должны быть свернуты на уровне единого – целостного, обобщенного и динамического – представ­ления о сути соответствующего математи­ческого объекта. Решению этой задачи спо­собствует, в частности, специальный вопро­сник из 11 вопросов, предлагаемый детям в конце данного учебного пособия. Каждый во­прос, сформулированный в заведомо пара­доксальной форме, выступает в качестве' катализатора процесса свертывания знаний ребенка. Например, вопросы типа: "Какими мерками меряют в Ивановом царстве то, что нельзя целой меркой измерить? Какими мер­ками меряют в Еленином царстве то, что нельзя целой меркой измерить?", "Можно ли узнать, какое царство числами богаче? Ива­ново? Еленино? Или чисел в царствах по­ровну?" и т.д.