Рассеяние частиц. Атом Резерфорда-Бора

· Значения коэффициента в нижеследующих формулах:

· Угол на которой рассеивается заряженная частица кулоновским полем неподвижного ядра определяется формулой:

Где - заряды частицы, b – прицельный параметр, Т-кинетичесая энергия налетающей частицы.

· Формула Резерфорда. Относительное число частиц, рассеянных в элементарном телесном угле под углом к первоначальному направлению их движения:

Где n – число ядер фольги на единицу ее поверхности,

· Обобщенная формула Бальмера:

Где – частота перехода между энергетическими уровнями с квантовыми числами n₁ и n₂, R,c^-1 – постоянная Ридберга, Z – порядковый номер водородоподобного иона. Рис 6.1 – схема соответствующих переходов.

 

6.29. Излучение атомарного водорода падает нормально на дифракционную решетку ширины . В наблюдаемом спектре под некоторым углом дифракции оказалась на пределе разрешения (по критерию Рэлея) 50-я линия серии Бальмера. Найти этот угол

6.30. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн линий которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода?

6.31. Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на n-й энергетический уровень?

6.32. Какие линии содержит спектр поглощения атомарного водорода в диапазоне длин волн от 94,5 до 130,0 нм?

6.33. Найти квантовое число n, соответствующее возбужденному состоянию иона He⁺, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 и 30,4 нм.

6.34. Вычислить постоянную Ридберга R, если известно, что для ионов He⁺ разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и ЛайманаΔλ = 133,7 пм.

6.35. У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана равна 59.3 нм?

6.43. Покоящийся ион Не⁺ испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоящегося атома водорода, который находился в основном состоянии. Найти скорость фотоэлектрона.

6.44. Найти скорость возбужденных атомов водорода, если при наблюдении их излучения под углом к направлению движения данных атомов длина волны головной линии серии Лаймана оказалось смещенной на

6.45. Согласно постулату Бора-Зоммерфельда при периодическом движении частицы в потенциальном поле должно выполняться следующее правило квантования: , где q и p – обобщенные координата и импульс, n – целые числа. Воспользовавшись этим правилом, найти разрешенные значения энергии частицы массы m, которая движется:

a) в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины l c бесконечно высокими стенками;

b) по окружности радиуса r;

c) в одномерном потенциальном поле положительная постоянная;

d) по круговой орбите в центральном поле, где потенциальная энергия частицы поле - положительная постоянная;

6.46. Найти с учетом движения ядра атома водорода выражения для энергии связи электрона в основном состоянии и для постоянной Ридберга. На сколько процентов отличаются энергия связи и постоянная Ридберга, полученные без учета движения ядра, от соответствующих уточненных значений этих величин?

6.47.Найти для атомов легкого и тяжелого водорода (H и D) разность:

a) энергии связи их электронов в основном состоянии;

b) длин волн головных линий серии Лаймана;

6.48. Вычислить расстояние между частицами системы в основном состоянии, соответствующую энергию связи и длину волны головной линии серии Лаймана, если системой является:

a) мезоатом водорода, ядром которого служит протон(в мезоатоме вместо электрона движется мезон, имеющий тот же заряд, но массу в 207 раз большую);

b) позитроний, который состоит из электрона, движущихся вокруг общего центра масс.

 

Волновые свойства частиц

· Дебройлевская длина волны частицы с импульсом p:

· Соотношение неопределенностей:

· Временное и стационарное уравнения Шредингера:

(6.2 в)

 

где –полная волновая функция, - ее координатная часть, - оператор Лапласа, E и U- полная и потенциальная энергия частицы. В сферических координатах:

· Среднее значение величины q, являющейся функцией координат:

где –нормированная волновая функция, dV- элемент объема.

· Коэффициент прозрачности потенциального барьера U(x):

Где – x₁ и x₂ координаты точек, между которыми U>E.

6.78 Поток электронов падает на экран с двумя щелями 1 и 2(рис 6.3).В точке Р расположено входное отверстие счетчика. Пусть – амплитуда волны, прошедшей через щель 1 и достигшей Р, а – то же, но в случае открытой щели 2, Отношение .Если открыта только щель 1, то счетчик регистрирует электронов в секунду. Сколько электронов ежесекундно будет регистрировать счетчик, если:

1. открыта только щель 2;

2. открыты обе щели и в точке Рнаблюдаеться интерференционный максимум;

3. То же, но в точке Р-минимум?

6.79 Найти частное решение временного уравнения Шрёдингера для свободного движущейся частицы массы m.
6.80 Электрон находиться в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии между уровнями с =2 =3 составляет
6.81 Частица находиться в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины с абсолютно непроницаемыми стенками . Найти вероятность пребывания частицы в области
6.82Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы . Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты х в середине ямы.
6.83 В момент волновая функция некоторой частицы имеет вид . Изобразить примерный вид зависимостей:

1. Действительной части

2.

6.84Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы такова, что энергетические уровни расположены весьма густо. Найти плотность уровней ,т.е их число на единичный интервал энергии, в зависимости от . Вычислить для , если
6.85 Частица массы mнаходиться в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти:

1. Возможные значения энергии частицы, если стороны ямы равны

2. Значения энергии частицы на первых четырех уровнях, если яма квадратная со стороны

6.94. Частица массы m находится в сферически – симметричной потенциальной яме U(r)=0 при r<r₀ и U(r)=U₀ при r>r₀

a) Найти с помощью подстановки уравнение определяющее собственные значения энергии Е частицы при E<U₀, когда движение описывается волновой функцией , зависящей только от . Привести это уравнение к виду

где

b) Определить значение величины , при котором появляется первый уровень.

6.95.Волновая функция частицы массы m для основного состояния в одномерном потенциальном поле имеет вид , где А и – некоторые постоянные. Найти с помощью уравнения Шредингера постоянную и энергию Е частицы в этом состоянии.

6.96. Определить энергию электрона атома водорода в состоянии, для которого волновая функция имеет вид , где А, a и – некоторые постоянные.

6.97. Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид , где А – некоторая постоянная, - первый Боровский радиус. Найти:

a) Наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;

b) Среднее значение модуля кулоновской силы, действующий на электрон;

c) Среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.

6.98. Частица находится в сферически-симметричном потенциальном поле в стационарном состоянии , где r – расстояние от центра поля. Найти <r>.

6.99. Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле , где - положительная постоянная. Найти <U> частицы в состоянии, описываемом волновой функцией , где А и – неизвестные постоянные.

6.100. Частица в момент t=0 находится в состоянии , где А и – некоторые постоянные. Найти:

a) <x>; б) <p_x> - среднее значение проекции импульса.

6.101. Найти средний электростатический потенциал импульса, создаваемый электроном в центре атома водорода, если электрон находится в основном состоянии, для которого волновая функция , где А – некоторая постоянная, - первый Боровский радиус.

6.103 Воспользовавшись формулой , найти для электрона с энергией вероятность прохождения потенциального барьера, ширина которого и высота , если барьер имеет форму, показанную:

1. На рис. 6.7

2. На рис. 6.8