Памятка решения геометрических задач.
1) Чтение условия задачи.
2) Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.
3) Краткая запись условия (база знаний)
4) Деталировка – вычерчивания отдельных деталей на дополнительных чертежах; исходная сложная задача разбивается на несколько простых
5) Составление цепочки действий
6) Реализация алгоритма решения
7) Проверка правильности решения (логику доказательства, найденные величины имеют геометрический смысл)
8) Ответ
Задача 1 (медианы в треугольнике).
Медианы АМ и BN треугольника АВС перпендикулярны и пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что СР=АВ.
б) Найдите S ΔАВС, если известно, что АС=6 и ВС=7.
Повторить. 1) медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1; 2) медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине; 3) каждая медиана делит треугольник на два, равных по площади.
Решение
1) Так как медианы треугольника пересекаются в одной точке, то СР – это отрезок медианы. Пусть СР пересекается с АВ в точке К, тогда СК – медиана треугольника и СР= 
СК=2РК (свойство медиан)
2) РК – медиана прямоугольного треугольника АВР, поэтому РК=0,5АВ.
3) Из 1) и 2)=>АВ=2PK =СР.
Пункт а) доказан.
б) 1) Пусть ВР=2х, PN=х, АР=2у, РМ=у. Применяя теорему Пифагора для треугольников ВМР и АРN, получим систему
2) АМ – медиана треугольника АВC, поэтому площадь треугольника АВМ равна
Значит, площадь треугольника АВС равна 
Ответ: S ΔАВС =
Задача 2 (метод площадей).
Окружность с центром О, вписанная в S ΔАВС касается стороны ВС в точке Р и пересекает отрезок ВО в точке Q. Отрезки OC II QP
а) Доказать: S ΔАВС – равнобедренный
б) Найти S ΔBPQ, если точка О делит высоту ВН в отношении ВО: ОН=3:1, АС =2а.
Повторить. Для доказательства пункта a) необходимо вcпомнить признаки равнобедренного треугольника: если высота и биссектриса, проведенная к одной стороне, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным.
Решение
а) 1) ΔАВС – описанный около окружности, поэтому О – точка пересечения биссектрис.
2) OP 
BC (радиус, проведенный в точку касания), значит ΔВРО – прямоугольный.
3) Пусть углы АСО и ВСО равны α, тогда угол СОР равен 90-α и равен углу ОРQ, так как ОС II QP, углы OPQ и COP – накрест лежащие.
ΔQOP - равнобедренный, так как OQ=OP (радиусы).
QOP = 
-2 
4) Пусть ВО пересекается с АС в точке Н. Рассмотрим треугольники ВОР и ВСН. У них угол при вершине В общий, ВОР= ВСН=2α. Значит, ΔВОР подобен ΔВСН по двум углам. Следовательно, ВНС= ВРО=90°
5) Рассмотрим треугольник АВС. У него ВН является биссектрисой и высотой. Поэтому по признаку равнобедренного треугольника ΔАВС – равнобедренный. Пункт а) доказан.
б) При нахождении S ΔBQP будем использовать «метод площадей»: если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, содержащих этот угол, то есть если 
= k и 
= m, то 
= km 
.
1) ΔАВС – равнобедренный (см. пункт а), ВН – высота, => ВН – медиана. Если АС = 2а по условию, то НС = а.
2) НС = СР = а (свойство отрезков касательных)
3) СО – биссектриса ΔВНС. По свойству биссектрисы треугольника 
= 
= 3:1(по условию). Поэтому ВС=3а, тогда ВР = ВС – РС = 3а - а = 2а. С другой стороны 
= 3, 
S ΔBHC=0,5∙ ВН∙ НС =0,5 
∙ НС=0,5 
∙а = а2 
4) BQ: BH=1: 2; BP: BC=2: 3. Поэтому SBQP = 0,5 ∙ 
= 
.
Задача в пункте б) может быть решена другими способами. Например, ΔОНС и ΔВНС имеют общую высоту HС. 
= 
. SOPC = SOHC. Поэтому SBPO=0,5 S BHC. Аналогично, SBQP = SBPO. Значит, SBQP = 
Возможно и третье решение. Из треугольника ВНС найти синус угла НВС, далее, вычислив стороны BQ и BP треугольника BQP, найти его площадь
SBQP = 
Ответ:
