Выравнивание экспериментальных кривых и графические методы определения параметров уравнений

При анализе и представлении результатов исследований необходимо по возможности стремиться к использованию простых функций. Для этого применяют метод выравнивания, заключающийся в том, что кривую,

построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой в прямую линию вводят новые переменные:

 

X=f_l(x,y),Y=f₂(x,y) (3)

 

В искомом уравнении они должны быть связаны линейной зависимостью

У=а + bХ (4)

 

Значения X и Y можно вычислить на основе решения системы уравнений (3). Далее можно построить прямую, по которой легко графически

вычислить параметры а (ордината точки пересечения прямой с осью Y) и b (тангенс угла наклона прямой с осью X): b=tgb=(Yi-a)/Xi

При графическом определении параметров а и bобязательно, чтобы прямая (4) строилась на координатной сетке, у которой началом является точка Y=0 и Х=0. Для расчета необходимо точки Y_i и X_i принимать на крайних участках прямой.

Для определения параметров прямой можно применить также другой графический метод. В уравнение (4) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляют а и b. После установления параметров а и bполучают эмпирическую формулу (4), которая связывает Y и X, позволяет установить функциональную связь между х и у и эмпирическую зависимость (1).

Пример: подобрать эмпирическую формулу, описывающую результаты следующих измерений:

 

X
Y	12,1	19,2	25,9	33,3	40,5	46,4	54,0

 

Графический анализ этих измерений показывает, что в прямоугольных координатах точки хорошо ложатся на прямую линию, следовательно, нет необходимости выравнивания, и их можно выразить зависимостью (2). Выбираем координаты крайних точек и подставляем в (2). Тогда, а +7b= 54,0; а +1b= 12,1, откуда при совместном решении данных выражений следует b= 41,9/6=6,98 и а=12,1—6,98=5,12. Эмпирическая формула примет вид у= 5,12+6,98х.

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямолинейными функциями позволяет просто и быстро установить вид эмпирических формул.

 

Однако данный метод имеет существенные погрешности, т.к. координаты крайних точек заранее признаются лежащими на прямой.

 

Линеаризацию кривых можно легко осуществить на полу- или логарифмических координатных сетках, которые сравнительно широко применяют при графическом методе подбора эмпирических формул.

Выравнивание может быть применено в тех случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой. Так, если экспериментальный график имеет вид, показанный на рисунке 1а, то необходимо применить формулу

y = ах^b (5)

 

Заменяя X=lgx и Y=lgy, получим Y=lga+bX. При этом экспериментальная кривая превращается в прямую линию на логарифмической сетке.

Если экспериментальный график имеет вид, показанный на рисунке 1 б, то целесообразно использовать выражение

y = ах^b (6)

 

При замене Y=Igy получим Y=lga+bxlge. Здесь экспериментальная кривая превращается в прямую линию на полулогарифмической сетке.

Если экспериментальный график имеет вид, представленный на рисунке 1в, то эмпирическая формула принимает вид

у = с + ax^b (7)

 

Если bзадано, то надо принять Х=х, и тогда получим прямую линию на сетке прямоугольных координат у=с+аХ. Если же bнеизвестно, то надо принять X=lgx и Y=lg(y — с), в этом случае будет прямая линия, но на логарифмической сетке Y=lga+bX.

В последнем случае необходимо предварительно вычислить с. Для этого по экспериментальной кривой принимают три произвольные точки х_1, y₁; х₂, y₂ и x₃= √x1·x2; y₃ и вычисляют с в виде отношения

 

(8)

 

Если экспериментальный график имеет вид, показанный на рисунке 1, то можно пользоваться формулой

y=c+ + ах^bx ( 9 )

 

Рисунок 1 - Примерный вид графиков эмпирических формул

 

Путем замены Y=lg(y — с) можно построить прямую на полулогарифмической сетке:

Y=lga + bxlge, (10)

 

где с предварительно определяется, используя формулу (8).

В этом случае х₃ = 0,5(х₁+х₂).

 

Если экспериментальный график имеет вид, представленный на рисунке 1д, то применяется выражение

y=a+b/x (11)

 

Путем замены x=l/z можно получить прямую линию на прямоугольной сетке координат y=a+bz.

Если график имеет вид, соответствующий кривым на рисунке 1е, то используется формула

 

у=1/(а+bх) (12)

 

Если принять y=l/z, то z=a+bx, т.е. прямая на прямоугольной сетке координат.

Аналогично, уравнению

y=1/(a+bx+ cx ²) ( 13 )

 

путем замены y=l/z можно придать вид z=a+bx+ cx ².

 

Пример: пусть, необходимо подобрать эмпирическую формулу для следующих результатов:

 

 

X		1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5
У	15,2	20,6	27,4	36,7	49,2	66,0	87,4	117,5

 

На основе данных строится график (рисунок 2а), вид графика в прямоугольных координатах соответствует кривым, представленным на

рисунке 16 у - ае ^bx.

Рисунок 2 - Экспериментальный график в прямоугольных и полулогарифмических координатах.

После логарифмирования выражения lgy=lga-bxlge.

Если обозначить lgy=Y, то Y= Iga+bxlge, т.е. в полулогарифмических координатах выражение для Y представляет собой прямую линию (рисунок 2б). Подстановка в уравнение координат крайних точек дает IgI 5,2=lga+blge и lgII7,5=lga+4,5blge.

Следовательно,

lga+ blge=1,183

Iga+4,5 blge=2,070

откуда b=0,887/(3,5lge) =0,579; lga=l,183-0,254=0,929\ 'a=l,85.

Окончательно эмпирическая формула будет иметь вид у=I,85*е^0,579x.

 

При подборе эмпирических формул широко используются степенные полиномы

у=ао+а₁х+а ₂ х²+а₃ х³... а_m х^m (14)

 

Такой вид формулы удобен для анализа, его члены легко дифференцируются и интегрируются, полиномами можно аппроксимировать любые результаты, если они графически выражаются непрерывными функциями.

Задача сводится к нахождению неизвестных коэффициентов степенного полинома (а₀, а₁, а₂.....а _m), при этом количество неизвестных коэффициентов должно быть меньше чем количество экспериментальных точек.