Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Интегрирования (I рода)
Пусть функция f(х) непрерывна на промежутке 
. Тогда для любого отрезка 
интеграл 
существует. При изменении b интеграл изменяется, т.е. он является непрерывной функцией b. Рассмотрим поведение этого интеграла при 
.
Определение. Если существует конечный предел 
, то его назы-
вают несобственным интеграломI рода от функции f(х) и
обозначают 
.
Таким образом, по определению 
. (1)
Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке 
:
. (2)
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:
, (3)
где с – любая фиксированная точка оси Ох.
При этом интеграл 
называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равенства (3).
Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (3), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Пример 1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
а) 
.
Следовательно, интеграл сходится.
б) 
. Следовательно, интеграл расходится.
в) 
|
|
Следовательно, исходный интеграл расходится.
Геометрический смысл несобственного интеграла
Если 
, то несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями 
, 
и осью абсцисс (рис. 1).
а) б)
Рис. 1
На рисунке 1 (а) представлен случай, когда - сходится, а в случае (б) – расходится.
Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода)
Пусть функция непрерывна при 
, а в точке х = b имеет разрыв (рис. 2). В этом случае при любом разбиении отрезка на части 
функция f(х) будет неограниченной на последнем отрезке. Поэтому, если взять точку 
достаточно близко к точке b, то можно сделать произведение 
, а следовательно, и интегральную сумму 
, сколь угодно большими.
Рис. 2
Это значит, что интегральные суммы неограниченны и они не имеют конечного предела при стремлении шага разбиения 
к нулю, т.е. прежнее определение интеграла неприменимо.
Однако и в этом случае можно обобщить понятие интеграла.
Рассмотрим отрезок 
, где 
, на котором функция f(х) непрерывна.
Определение. Если существует конечный предел определенного интеграла
при 
, то этот предел называется несобствен-
ныминтегралом II родаот разрывной функции и обознача-
ется символом .
Следовательно, 
. (4)
Если предел, стоящий в правой части равенства (4) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же указанный предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично, если f(х) разрывна в некоторой внутренней точке х = с
отрезка , то необходимо разбить этот отрезок на два: 
и 
.
Если несобственные интегралы от данной функции существуют на каждом промежутке, то сумма этих интегралов, по определению, называется несобственным интегралом от функции f(х) на отрезке , т.е.
. (5)
Если хотя бы один из несобственных интегралов, стоящих в правой части равенства (5) не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Таким образом, из данных определений видно, что несобственный интеграл от разрывной функции является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла.
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а) 
; б) 
.
Решение.
а) Подынтегральная функция 
непрерывна на отрезке интегрирования 
, кроме точки х = 0, где она терпит разрыв второго рода. Тогда, по определению, имеем: 
. Следовательно, данный интеграл сходится.
б) Подынтегральная функция не существует, если 
. Так как х = 3 является внутренней точкой отрезка интегрирования 
, то согласно формуле (3), получаем: 
.
Так как оба несобственных интеграла расходятся, то расходится и исходный интеграл.
