Вычисление определенного интеграла по формуле
Ньютона-Лейбница
Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Необходим простой способ вычисления определенных интегралов, минуя отыскание интегральных сумм и переход к пределу. Этот метод, основанный на связи определенного интеграла с вычислением первообразной, выражается формулой Ньютона-Лейбница.
Теорема. Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
и F(x) –
любая первообразная для f(x) на . Тогда определенный инте-
грал от функции f(x) на равен приращению первообразной
F(x) на этом отрезке:
. (25)
Доказательство. Разобьем отрезок точками 
, 
на n -частичных отрезков 
, …, 
(рисунок 10).
Рисунок 10
Рассмотрим тождество 
.
Преобразуем каждую разность в скобках по теореме Лагранжа
. (26)
Получаем 
;
следовательно, 
, (27)
где 
есть некоторая точка интервала 
.
Так как функция непрерывна на , то она интегрируема на . Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от 
на .
Переходя в равенстве (27) к пределу при 
, получаем
, т.е. 
.
Равенство (25) называется формулой Ньютона-Лейбница.
Если ввести обозначения 
, то формулу Ньютона-Лейбница (25) можно переписать в виде: 
.
Читается формула (25) так: чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке , надо найти ее первообразную функцию 
и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка : 
.
Замечание 1. Мы ввели понятие 
для случая 
. Его можно обобщить и на случай 
. Сделаем это так, чтобы формула Ньютона-Лейбница оставалась справедливой.
Положим, по определению, что для 
. (28)
Проверим справедливость формулы Ньютона-Лейбница:
.
Принимая во внимание (28), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.
Эта формула имеет место и для 
: 
.
Замечание 2. Величина интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т.е. 
, а зависит лишь от вида подынтегральной функции и отрезка интегрирования, поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.
Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.
Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Эта формула значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общий метод для решения различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла.
Пример 10. Вычислить определенные интегралы: а) 
; б) 
;
в) 
.
Решение. а) 
.
б) 
.
в) 
.
Пример 11. Найти массу прямолинейного стержня 
, плотность которого в каждой точке 
равна 
.
Решение. По формуле (21) имеем: 
(ед.массы).
Дальнейшие свойства определенного интеграла
2.1. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка 
такая, что
. (29)
Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем 
, где 
.
Применяя к разности теорему Лагранжа, получим 
.
Теорема о среднем при 
имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором , площади прямоугольника с высотой 
и основанием 
(рисунок 11). Число
(30)
называется средним значением функции на отрезке .
Рисунок 11
2 .2 Свойство неотрицательности.
Если функция сохраняет знак на отрезке , где , то интеграл 
имеет тот же знак, что и функция:
если 
на отрезке , то
. (31)
Доказательство. По теореме о среднем , где 
.
Так как для всех 
, то и 
, а 
, поэтому 
, т.е. 
, что требовалось доказать.
2.3. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке , 
можно почленно интегрировать.
Если 
при , то
. (32)
Доказательство. Так как 
, то при согласно свойству 6 имеем 
, а по свойству 2 
, т.е.
.
Оценка интеграла.
Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , (), то
. (33)
Доказательство. Так как для любого имеем 
, то, согласно свойству 7, имеем 
.
Применяя к крайним интегралам свойства 1 и 4, получаем
.
Если 
, то свойство 8 иллюстрируется геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть отрезок , а высоты равен m и М соответственно (рисунок 12).
Рисунок 12
2.5. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
. (34)
Доказательство. Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам 
, получаем 
.
Отсюда, по определению модуля, следует, что 
.
2.6. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.:
. (35)
Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем: 
. Следовательно, 
.
Это обозначает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
Методы интегрирования
Для нахождения определенного интеграла применяют методы интегрирования, аналогичные методам интегрирования в неопределенном интеграле. Рассмотрим основные из них.
