Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции двух переменных
ПЛАН
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Экстремум функции двух переменных.
Необходимые и достаточные условия существования
экстремума функции z = f(х, у).
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности S в её точке М 0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности S через точку М 0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной равнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
z – z0 = f’x(x0,y0)(x – x0) + f’y(x0,y0)(y – y0) (1)
Вектор 
называется вектором нормали к поверхности S в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности S в точке М0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N. Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0), где z0 = f(x0,y0), имеют вид:
(2)
Пусть поверхность 
задана уравнением
(3)
в неявном виде. Будем считать, что 
и в некоторой окрестности точки 
функция 
имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда
(4)
Условимся писать 
вместо 
.
Уравнение касательной плоскости к в точке 
запишется так:
, (5)
а уравнение нормали к в точке - так:
. (6)
Пример 1. Уравнение
(7)
определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью 
(рис. 1).
Рис. 1
Левая часть уравнения (7) имеет частные производные
,
одновременно не равные нулю, если точка 
. В любой такой точке, которую обозначим через , касательная плоскость определяется уравнением
.
Нормаль к в точке , т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение
.
Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности
в точке 
Решение: Имеем
Тогда, согласно (1), уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид: z - 6 = - 4(x + 1) + 2(y - 2), то есть
4x - 2y + z + 2 = 0, а уравнение нормали, согласно (2):
Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к конусу
Решение. Имеем
Тогда
Уравнение касательной плоскости запишем в виде
или 
.
Уравнение нормали имеет вид 
Экстремум функции двух переменных
Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой области D и точка М0 (х0, у0) Î D (внутренняя точка области).
Определение. Точка М0 (х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(х, у), если в достаточно малой d-окрестности точки М0 для каждой точки М (х, у) отличной от точки М0 (х0, у0), выполняется неравенство:
f(x, y) < f(x0, y0) (f(x, y) > f(x0, y0)).
На рис.1 М0 – точка максимума, а
точка М1 – точка минимума функ-
ции z = f(х, у).
Значение функции в точке макси-
мума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции
называется её экстремумом.
Рис. 1
Замечание. Согласно определению, точка экстремума функции является внутренней точкой области определения функции. Максимум и минимум имеют локальный (местный ) характер: значения функции в точке М0 (х0, у0) сравниваются с её значениями в точках достаточно близких к М0 (х0, у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
