Экстремум функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции двух переменных

 

ПЛАН

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Экстремум функции двух переменных.

Необходимые и достаточные условия существования

экстремума функции z = f(х, у).

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

 

Касательной плоскостью к поверхности S в её точке М ₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности S через точку М ₀.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной равнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

 

z – z₀ = f’_x(x₀,y₀)(x – x₀) + f’_y(x₀,y₀)(y – y₀) (1)

Вектор называется вектором нормали к поверхности S в точке М₀. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.

Нормалью к поверхности S в точке М₀ называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N. Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀), где z₀ = f(x₀,y₀), имеют вид:

 

(2)

Пусть поверхность задана уравнением

(3)

в неявном виде. Будем считать, что и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда

(4)

Условимся писать вместо .

Уравнение касательной плоскости к в точке запишется так:

, (5)

а уравнение нормали к в точке - так:

. (6)

Пример 1. Уравнение

(7)

определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью (рис. 1).

Рис. 1

Левая часть уравнения (7) имеет частные производные

,

одновременно не равные нулю, если точка . В любой такой точке, которую обозначим через , касательная плоскость определяется уравнением

.

Нормаль к в точке , т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение

.

Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности

в точке

Решение: Имеем

Тогда, согласно (1), уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид: z - 6 = - 4(x + 1) + 2(y - 2), то есть

4x - 2y + z + 2 = 0, а уравнение нормали, согласно (2):

Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к конусу

Решение. Имеем

Тогда

Уравнение касательной плоскости запишем в виде

или .

Уравнение нормали имеет вид

Экстремум функции двух переменных

 

Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой области D и точка М₀ (х₀, у₀) Î D (внутренняя точка области).

 

Определение. Точка М₀ (х₀, у₀) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(х, у), если в достаточно малой d-окрестности точки М₀ для каждой точки М (х, у) отличной от точки М₀ (х₀, у₀), выполняется неравенство:

f(x, y) < f(x₀, y₀) (f(x, y) > f(x₀, y₀)).

На рис.1 М₀ – точка максимума, а

точка М₁ – точка минимума функ-

ции z = f(х, у).

Значение функции в точке макси-

мума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции

называется её экстремумом.

Рис. 1

 

Замечание. Согласно определению, точка экстремума функции является внутренней точкой области определения функции. Максимум и минимум имеют локальный (местный ) характер: значения функции в точке М₀ (х₀, у₀) сравниваются с её значениями в точках достаточно близких к М₀ (х₀, у₀). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.