Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Тема 4. Числовые и функциональные ряды.

1. Основные понятия и определения.

Пусть - бесконечная числовая последовательность.

Выражение называется бесконечным числовымрядом, а числа - членами ряда; называется общим членом. Ряд часто записывают в виде .

Сумму первых и членов числового ряда обозначают через и называют п -й частичной суммой ряда:

Ряд называется сходящимся, если его п -я частичная сумма при неограниченном возрастании и стремится к конечному пределу, т.е. если . Число S называют суммой ряда. Если же п -я частичная сумма ряда при не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.

Ряд , составленный из членов убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму .

Ряд называется гармоническим, расходится.

Основные теоремы о сходящихся числовых рядах.

Теорема.

Если сходится ряд

то сходится и ряд

получаемый из данного ряда отбрасыванием первых членов (этот последний ряд называют - м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости - го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда.

Теорем.

Если сходится ряд

и суммой его является число S, то сходится и ряд

причем сумма последнего ряда равна аS.

Теорема.

Если сходится ряды

, ,

имеющие соответственно суммы S и , то сходится и ряд

причем сумма последнего ряда равна S + .

Теорема.

Если ряд

сходится, то , т.е. при придел общего члена сходящегося ряда равен нулю (необходимый признак сходимости ряда).

Таким образом, если , то ряд расходится.

Признаки сходимости рядов с положительными членами.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

(1)

(2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т.е. Тогда если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1). Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Этот признак остается в силе, если неравенства выполняются не при всех п, а лишь начиная с некоторого номера п = N.

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда , одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Радикальный признак Коши. Если для ряда

существует = q, то этот ряд сходится при q <1 и расходится при q >1.

Признак Даламбера. Если для ряда

существует , то этот ряд сходится при k <1 и расходится при k >1.

Интегральный признак Коши. Если f(x) при - непрерывная, положительная и монотонная убывающая функция, то ряд , где сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение: Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму (знаменатель геометрической прогрессии). Следовательно