Интегрирование дробно-рациональных функций

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

 

1. . 2. . 3. . 4. .

В качестве общей рекомендации при интегрировании выражений содержащий квадратный трехчлен , можно указать на целесообразность применения к нему подстановки .

В результате интеграл приводится к сумме двух табличных интегралов.

Пример 3. Вычислить интегралы: а) ; б) .

а)

б)

=

=

=

.

 

Интегрирование простейших иррациональных функций

 

Пусть функция зависит от двух переменных некоторых постоянных. Тогда она называется рациональной функцией переменных, если над ними производятся только операции сложения, вычитания умножения и деления. При этом рациональную функцию принято обозначать . Например, и т.д.

Некоторые типы интегралов от алгебраических иррациональностей надлежащий заменой могут быть сведены к интегралом от рациональных функций.

1. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от дробных степеней независимой переменной х, т.е. функция , то применяется подстановка , где m – наименьшее общее кратное чисел .

2. Если под знаком интеграла стоит функция вида , то применяется подстановка , где m – наименьшее общее кратное (Н.О.К.) чисел .

3. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от х и дробных степеней дробно-линейной функции, т.е. функция вида то применяется подстановка , где .

 

Пример 4. Вычислить интеграл: .

Решение.

=

.

 

Интегрирование дробно-рациональных функций

 

Определение. Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью)

называется отношение двух многочленов

.

Если степень многочлена, стоящего в числителе дроби не меньше, чем степень многочлена в знаменателе, то в этой дроби следует выделить целую часть, т.е. представить ее в виде , где - многочлены, причем степень меньше степени .

Рациональная дробь , обладающая этим свойством, называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

Например, - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель «уголком»:

 

(целая часть)

15 (остаток)

Следовательно, .

Таким образом, неправильную рациональную дробь можно единственным образом путем деления числителя на знаменатель представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.

Справедлива следующая теорема.

 

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь можно единственным

образом представить в виде суммы простейших дробей следую-

щих 4 типов: 1) , 2) , 3) ,

4) , где А, В, M, N, C, D, a, b, c – дейст-

вительные числа, а квадратный трехчлен не имеет

действительных корней (D = b ² – 4 ас < 0).

Если знаменатель правильной рациональной дроби разложен

на множители , то правильная рациональная дробь может быть единственным образом разложена на сумму простейших дробей:

где - некоторые действительные числа. Для нахождения неизвестных коэффициентов можно применить либо метод неопределенных коэффициентов, либо метод частных значений, либо их комбинацию.

 

Пример 5. Представить дробь в виде суммы простейших дробей:

а) ; б) .

Решение. а) Так как квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе не имеет действительных корней , то представим данную дробь в виде суммы простейших дробей: . Для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, D, приведем дроби, стоящие в правой части уравнения к общему знаменателю и приравняем числители: , или

.

 

Метод неопределенных коэффициентов состоит в сравнении коэффициентов при одинаковых степенях х у многочленов, стоящих в левой и правой частей равенства, которые должны быть равны между собой:

 

при : , при х ¹: , при : .

Решая систему находим, что .

Следовательно, .

 

б) Имеем .

Отсюда следует, что .

Для нахождения неопределенных коэффициентов А, В, С применим метод частных значений. Для этого вместо аргумента х подставим в полученное равенство значения корней знаменателя. Корни знаменателя: х = 0, х = 2, х = -1.

Положим х = 0, тогда – 4 = –2А, т.е. А = 2;

положим х = 2, тогда 2 = 6 В, т.е. ;

положим х = -1, тогда – 7 = 3 С, т.е. .

Следовательно, .