Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
В качестве общей рекомендации при интегрировании выражений содержащий квадратный трехчлен 
, можно указать на целесообразность применения к нему подстановки 
.
В результате интеграл приводится к сумме двух табличных интегралов.
Пример 3. Вычислить интегралы: а) 
; б) 
.
а) 
б) 
= 
= 
= 
.
Интегрирование простейших иррациональных функций
Пусть функция зависит от двух переменных 
некоторых постоянных. Тогда она называется рациональной функцией переменных, если над ними производятся только операции сложения, вычитания умножения и деления. При этом рациональную функцию принято обозначать 
. Например, 
и т.д.
Некоторые типы интегралов от алгебраических иррациональностей надлежащий заменой могут быть сведены к интегралом от рациональных функций.
1. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от дробных степеней независимой переменной х, т.е. функция 
, то применяется подстановка 
, где m – наименьшее общее кратное чисел 
.
2. Если под знаком интеграла стоит функция вида 
, то применяется подстановка 
, где m – наименьшее общее кратное (Н.О.К.) чисел .
3. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от х и дробных степеней дробно-линейной функции, т.е. функция вида 
то применяется подстановка 
, где 
.
Пример 4. Вычислить интеграл: 
.
Решение. 
= 
.
Интегрирование дробно-рациональных функций
Определение. Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью)
называется отношение двух многочленов
.
Если степень многочлена, стоящего в числителе дроби не меньше, чем степень многочлена в знаменателе, то в этой дроби следует выделить целую часть, т.е. представить ее в виде 
, где 
- многочлены, причем степень 
меньше степени 
.
Рациональная дробь 
, обладающая этим свойством, называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.
Например, 
- неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель «уголком»:
(целая часть)
15 (остаток)
Следовательно, 
.
Таким образом, неправильную рациональную дробь можно единственным образом путем деления числителя на знаменатель представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь можно единственным
образом представить в виде суммы простейших дробей следую-
щих 4 типов: 1) 
, 2) 
, 3) 
,
4) 
, где А, В, M, N, C, D, a, b, c – дейст-
вительные числа, а квадратный трехчлен не имеет
действительных корней (D = b 2 – 4 ас < 0).
Если знаменатель правильной рациональной дроби 
разложен
на множители 
, то правильная рациональная дробь может быть единственным образом разложена на сумму простейших дробей:
где 
- некоторые действительные числа. Для нахождения неизвестных коэффициентов 
можно применить либо метод неопределенных коэффициентов, либо метод частных значений, либо их комбинацию.
Пример 5. Представить дробь в виде суммы простейших дробей:
а) 
; б) 
.
Решение. а) Так как квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе 
не имеет действительных корней 
, то представим данную дробь в виде суммы простейших дробей: 
. Для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, D, приведем дроби, стоящие в правой части уравнения к общему знаменателю и приравняем числители: 
, 
или
.
Метод неопределенных коэффициентов состоит в сравнении коэффициентов при одинаковых степенях х у многочленов, стоящих в левой и правой частей равенства, которые должны быть равны между собой:
при 
: 
, при х 1: 
, при 
: 
.
Решая систему 
находим, что 
.
Следовательно, 
.
б) Имеем 
.
Отсюда следует, что 
.
Для нахождения неопределенных коэффициентов А, В, С применим метод частных значений. Для этого вместо аргумента х подставим в полученное равенство значения корней знаменателя. Корни знаменателя: х = 0, х = 2, х = -1.
Положим х = 0, тогда – 4 = –2А, т.е. А = 2;
положим х = 2, тогда 2 = 6 В, т.е. 
;
положим х = -1, тогда – 7 = 3 С, т.е. 
.
Следовательно, 
.
