Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически 
, прямыми 
и 
и осью Ох, то ее площадь находится по формуле:
, (43)
где 
и 
определяются из равенств 
и 
.
Пример 15. Найти площадь фигуры,
ограниченной эллипсом 
.
Решение. Найдем сначала 
площади S.
Здесь х изменяется от 0 до а, следовательно,
t изменяется от 
до 0 (рисунок 22).
По формуле (43) находим Рисунок 22
. Таким образом, 
. Значит, 
(ед2.).
Вычисление объемов тел
А) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
Пусть имеется некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рисунок 23).
Рисунок 23
Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от х: 
, где 
.
Предположим, что - непрерывная функция и определим объем данного тела. Проведем плоскости 
. Эти плоскости разобьют тело на слои. В каждом частичном отрезке 
выберем произвольную точку 
и для каждого значения 
построим цилиндрическое тело, образующая которого представляет собой контур сечения тела Т плоскостью 
. Объем такого элементарного цилиндра с площадью основания 
и высотой 
равен , объем всех цилиндров будет
.
Предел этой суммы при 
, где 
(если он существует) называется объемом данного тела: 
.
Так как 
представляет собой, очевидно, интегральную сумму для непрерывной функции на 
, то указанный предел существует и выражается определенным интегралом:
. (44)
Формулу (44) называют формулой объема тела по известной площади поперечного сечения.
Б) Объем тела вращения.
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией 
, отрезком оси Ох и прямыми и (рисунок 24).
Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох 
, есть круг с радиусом 
.
Следовательно, 
. Применяя формулу (44) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
. (45)
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции 
и прямыми 
, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу (рисунок 25) по аналогии с формулой (45), равен
. (46)
Рисунок 24 Рисунок 25
Пример 16. Вычислить объем тела,
которое получается при вращении
вокруг оси Ох криволинейной тра-
пеции, ограниченной гиперболой
, прямыми 
, х = 12 и
осью абсцисс.
Решение. Построим фигуру,
ограниченную заданными ли-
ниями, а затем тело вращения
вокруг оси Ох (рисунок 26). Рисунок 26
По формуле (45) имеем 
(ед3.).
Пример 17. Найти объем тела, полученного
от вращения вокруг оси ординат плоской
фигуры, ограниченной линиями 
.
Решение. Проецируя вращаемую фигуру
на ось ординат (рисунок 27), убеждаемся, Рисунок 27
что искомый объем равен 
.
; 
. Следовательно, 
(ед3.).
Работа переменной силы.
Пусть материальная точка перемещается под действием силы 
, на прямой вдоль оси 
и имеет переменную величину 
. Требуется найти работу 
, совершаемую силой , по перемещению точки вдоль оси из точки 
до точки 
.
Разобьем 
точками. Выберем 
.
Сила меняется от точки к точке. Но если 
мало, можно считать 
при 
. Тогда 
.
Рисунок 28
, -непрерывная функция на , следовательно:
.