А) Вычисление площадей в прямоугольной системе координат.

ПРИЛОЖЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ

ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

ПЛАН

 

1. Геометрические и физические приложения.

2. Приближенные методы вычисления интегралов.

 

Вычисление площадей плоских фигур

 

а) Вычисление площадей в прямоугольной системе координат.

1. Если функция неотрицательна на

отрезке , то площадь криволинейной

трапеции, ограниченной кривой

прямыми , и (рисунок 13),

вычисляется по формуле:

. (38) Рисунок 13

Формула (38) справедлива на основании геометрического смысла определенного интеграла.

 

 

2. Если функция - неположительна

на , то площадь S (рисунок 14)

вычисляется по формуле:

. (39)

Действительно, отражая кривую

относительно оси абсцисс, получаем

кривую с уравнением , которая Рисунок 14

уже неотрицательна на отрезке , а площадь под нею из соображений симметрии равна площади S (рисунок 14). Тогда .

3. Если и непрерывны на отрезке , то площадь S фигуры,

заключенной между кривыми и на этом отрезке

(рисунок 15)определяется формулой:

. (40)

 

Рассмотрим случай, когда

на (рисунок 15). Тогда площадь S

может быть определена как разность

соответствующих криволинейных трапеций:

Рисунок 15

.

Можно показать, что формула (40) справедлива при любых расположениях кривых у= и у= с сохранением

соотношения ³ , для любых

.

4. Если плоская фигура имеет «сложную»

форму, то прямыми, параллельными оси

Оу, ее следует разбить на части так, чтобы

можно было бы применить уже известные

формулы.

Так площадь области S, изображенной Рисунок 16

на рисунке 16 может быть найдена следующим образом:

. (41)

 

5. Если криволинейная трапеция ограничена

прямыми и , осью Оу и непрерыв-

ной функцией (рисунок 17), то

ее площадь вычисляется по формуле:

. (42)

Рисунок 17

Пример 14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: а) , , ; б) , ; в) , , , ; г) , , , .

Решение. а) Заданная фигура ограничена параболой с уравнением , прямой, параллельной оси ординат () и осью абсцисс (). Как видно из рисунка 18, площадь фигуры S равна сумме площадей и , для нахождения которых применяем формулы (39) и (38) соответственно:

(ед²).

б) Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 19. Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой , решив систему этих уравнений , А(-1; -1), В(2; 2). Абсциссы точек А и В пересечения этих линий задают пределы интегрирования.

Так как на отрезке график функции расположен «выше», чем график функции , т.е. выполняется неравенство , то для нахождения площади фигуры S воспользуемся формулой (40), полагая :

(ед²).

 

Рисунок 18 Рисунок 19

в) Фигура имеет вид изображенный на рисунке 20. Линия, ограничивающая фигуру сверху, состоит из части ОА параболы и части АВ гиперболы . Следовательно, площадь S найдем как сумму двух площадей: , используя формулу (41).

Решая систему найдем координаты точки А(1; 1).

Тогда (ед²).

г) Искомой здесь является площадь S криволинейной трапеции АВСD (рисунок 21). В данном случае удобно использовать проецирование фигуры на ось Оу, т.е. поменять местами функцию у и аргумент х: , . Используя формулы (42) и (40), получаем: (ед²).

 

 

Рисунок 20 Рисунок 21