Классический метод расчета переходных процессов

Переходные процессы в любой электрической цепи можно описать системой дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В математике известно несколько методов решения систем дифференциальных уравнений: классический, операционный, численный и др. Название метода расчета переходных процессов адекватно названию математического метода решения системы дифференциальных уравнений, которыми описывается переходные процессы.

Исключая из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа лишние переменные, получим в результате для искомой функции x (t) неоднородное дифференциальное уравнение n -го порядка:

где х – искомая величина, например i или u; a_k – постоянные коэффициенты; F (t) – некоторая функция времени, определяемая источником энергии.

Из курса математики известно, что решение (общий интеграл) линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы двух решений: а) - полного решения однородного (без правой части) дифференциального уравнения и б) - частного решения неоднородного дифференциального уравнения для t = ∞:

Вид частного решения для t = ∞ определяется источниками энергии и соответствует значению искомой функции в установившемся послекоммутационном режиме: . В электротехнике эта составляющая решения получила название установившейся.

Полное решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

где А₁, А₂,…, Аn – постоянные интегрирования; p ₁, p ₂,…, p _n – корни характеристического уравнения, которое получают из однородного дифференциального, заменив в нем х →1, dx/dt → p и т.д.:

Эта составляющая решения не зависит от источников энергии, в электротехнике она получила название свободной: .

Таким образом, решение для искомой функции (тока, напряжения) может быть представлено в принятой в электротехнике форме:

Физический смысл имеет только полное решение для искомой функции x (t), а ее отдельные составляющие и являются расчетными величинами.

Метод расчета переходного процесса, заключающийся в решении неоднородного дифференциального уравнения классическим методом математики, получил название классического.

Расчет переходного процесса классическим методом состоит из следующих составных частей или этапов:

а) расчет установившейся составляющей ;

б) составление характеристического уравнения и определение его корней p ₁,…, p _n;

в) определение постоянных интегрирования А ₁, А ₂,….

Следует отметить, что расчет переходного процесса классическим методом выполняется не в строгом соответствии с математическим методом решения неоднородного дифференциального уравнения. Физические законы электротехники позволяют существенно упростить это решение.

5. Определение установившейся составляющей

Как известно, установившаяся составляющая искомой функции , являясь частным решением неоднородного дифференциального уравнения при t =∞, соответствует значению искомой функции в установившемся после коммутации режиме. Определение этой составляющей математическим методом из решения дифференциального уравнения довольно сложно и трудоемко. Гораздо проще найти эту функцию инженерным методом путем расчета схемы цепи в установившемся режиме после коммутации, что и делают на практике.

Пример. Определить установившуюся составляющую для тока i_у в схеме рис. 130 при заданных значениях параметров элементов: R ₁=50 Ом, L =100 мГн, R ₂=100 Ом, C =50мкФ, а)для постоянной ЭДС e (t)= E =150 В = const; б)для синусоидальной ЭДС e (t)=150sin ωt, f =50 Гц.

После коммутации ветвь с резистором R ₂ отключается и не оказывает влияния на режим остальной схемы.

а) При постоянной ЭДС источника e (t) =Е=const ток в схеме протекать не может (сопротивление конденсатора постоянному току равно ∞), следовательно i_у (t) = 0.

б) При переменной ЭДС источника e (t) =Е_m sin ωt расчет установившегося режима выполняется в комплексной форме для комплексных амплитуд функций. По закону Ома:

Вид установившейся составляющей соответствует виду источников энергии, которые действуют в схеме цепи.