Расчет электрических цепей несинусоидального тока

Расчет электрических цепей, содержащих источники энергии [источники ЭДС e (t)и источники тока j (t)] с несинусоидальной формой кривой, выполняется по методу положения. Процедуру расчета можно условно разделить на три этапа.

1)Гармонический анализ.

На этом этапе выполняется разложение несинусоидальных функций источников ЭДС e (t)и источников тока j (t)в гармонический ряд Фурье:

Для проведения анализа структуры функций e (t) и j (t)количество гармоник в их разложении определяютзначительно больше, чем необходимо для расчета схемы.

2)Аналитический расчет.

Производится аналитический расчет схемы последовательно для каждой гармоники в отдельности. Для постоянной составляющей расчет производится как для резистивной цепи постоянного тока, при этом участки с катушками L закорачиваются, а ветви с конденсаторами C размыкается. Расчет схемы для отдельных гармоник производится как для цепи синусоидального тока, т.е. в комплексной форме, при этом определяются не действующие значения, а комплексные амплитуды токов и напряжений (). Расчет для каждой гармоники выполняется по одному и тому же алгоритму, при этом учитывается зависимость реактивных сопротивлений элементов от частоты и, следовательно, от номера гармоники: . Выбор расчетного метода определяется структурой расчетной схемы.

Количество гармоник, для которых выполняется расчет схемы, устанавливается исходя из конкретных условий задачи. Например, если определяются только действующие значения токов и напряжений (I, U), то достаточно учитывать только те гармоники, для которых коэффициент , при этом относительная погрешность расчета в итоге не превысит 1%. Однако в тех случаях, когда требуется проводить исследование форм кривых функций u (t) и i (t), то необходимо учитывать также гармоники более высокого порядка с меньшим коэффициентом гармоник .

3.Синтез решения.

На заключительной стадии расчета определяются искомые величины согласно условию задачи.

Мгновенные значения токов и напряжений i (t)и u (t) определяются в соответствии с принципом наложения как алгебраической суммы мгновенных значений отдельных составляющих, например:

При необходимости исследования формы кривых функций i (t) и u (t) по полученным уравнениям строится их графические диаграммы.

Действующие значения токов и напряжений (I, U) находятся как среднеквадратичные значения этих функций по полученным ранее формулам, например:

Активные мощности отдельных элементов определяется как суммы активных мощностей этих элементов для отдельных гармоник, например:

Активную мощность отдельных приемников можно определять также по формуле Джоуля: , где -действующее значение тока этого приемника.

Определяются коэффициенты исследуемых несинусоидальных функций: k_u - коэффициент искажения, k_ф - коэффициент формы, k_г - коэффициенты отдельных гармоник и т. д.

Пример. На входе схемы (рис. 123а) с заданными параметрами элементов (R ₁=30 Ом, R ₂=20 Ом, L =100 мГн, С =22 мкФ) действует источник несинусоидальной ЭДС (рис. 123б) с частотой f =50 Гц. Требуется определить 1) действующие значения ЭДС Е и токов I, I ₁, I ₂; 2) коэффициенты искажения функций ЭДС e (t)и токов i (t), i ₁(t), i ₂(t); 3) баланс активных мощностей .

1-ый этап. Разложение заданной графически функции ЭДС е (t) (рис. 123б) в гармонический ряд Фурье производится с помощью ЭВМ по программе GAR, в результате получим:

Примечание: гармоники, кратные трем, в разложении данной функции отсутствуют.

2-ой этап. Производится расчет схемы для каждой гармоники в отдельности в комплексной форме по одному и тому же алгоритму:

; ; , где k - номер гармоники.

Результаты расчета сведены в общую таблицу. Расчет останавливаем на 5-ой гармонике, так как амплитуды более высоких гармоник в функции e (t) незначительны и их учет уже не повлияет на конечные результаты расчета.

k	E _km	I _km	I _{1 km}	I _{2 km}
	157,9 e^j ⁰	3,081 e^-j ^30,4	3,634 e^-j ^46,3	1,080 e^j ^82,1
	39,5 e^j ¹⁸⁰	0,385 e^j ¹⁸⁰	0,576 e^j ^115,5	0,526 e^-j ^105,4
	9,9 e^j ⁰	0,190 e^j ^45,2	0,077 e^-j ^76,54	0,240 e^j ^61,1
	6,3 e^j ¹⁸⁰	0,154 e^-j ^135,1	0,039 e^j ^100,8	0,179 e^-j ^124,6

3-ый этап. Определяются интегральные параметры искомых функций. Действующие значения функций:

В; I =2,20 A; I ₁=2,60 A; I ₃=0,88 A.

Коэффициенты искажения формы кривых для функций e (t), i (t), i ₁(t), i ₂(t):

; ; .

Активная мощность источника энергии:

Вт.

Активная мощность приемников энергии:

Вт; Вт.

Баланс мощностей:

Анализ результатов решения и выводы:

1. Для определения действующих значений величин и активных мощностей можно было бы пренебречь 4-ой и 5-ой гармониками, однако для определения коэффициентов искажения формы кривых учет названных гармоник необходим.

2. Величина и характер входного сопротивления схемы зависит от номера гармоники: для 1-ой гармоники () – входное сопротивление носит активно-индуктивный характер; для 2-ой гармоники ()– входное сопротивление носит чисто активный характер, т.е. на частоте 2-ой гармоники имеет место резонанс токов; для 4-ой гармоники ()– входное сопротивление носит активно-емкостный характер.

3. Форма кривой функции тока i ₁(t)в ветви с катушкой искажена меньше, чем форма кривой источника ЭДС e(t) (), а форма кривой тока i ₂(t)в ветви с конденсатором, наоборот, искажена больше (). Такие соотношения между коэффициентами искажения форм кривых объясняются зависимостью реактивных сопротивлений от частоты: .