Кеңейіп келе жатқан Ғаламда туннельдендіру

Кеңейіп келе жатқан Ғаламның сценарийінің алғашқы нұсқалары кеңейген кезде j өрісінің көпіршіктерінің кедергі астында пайда болуының есебінен j = 0 асқын суынған вакуумдық жағдайының ыдырау теориясына негізделді [53-55]. Минковский кеңістігіндегі осындай процестердің 4 тарауда талқыланған теориясы ең қызықты жағдайларда, оның локалды минимумының маңында тиімді потенциалдың қисықтығы Н² салыстырғанда аз болған кезде қолданылмайтын болып шығады.

Коулменнің және де Луччианың [207] жұмысында Ситтер дүниесінде туннельдендірудің евклидтік теориясы жасалған болатын. Алайда, жалпы жағдайда оның кеңейген кезде туннельдендіруді зерделеуге қолданушылығы мүлдем айқын емес. Осы теорияны құраған кезде кванттық секіріс көпіршіктің ішіндегі скалярлық j өрісті ғана емес, g_mv (х) метриканы да сынауға тиіс деп шамаланады.

Дәл сол кезде кей жағдайларда кедергі тек j өрісінің өзгеру бағытында ғана болады. Мұндай есептің аналогы тек х бағытында кедергі түріне ие V (х, y) потенциалындағы ху кеңістігінде бөлшектердің қозғалысы туралы есеп болып табылады. Бұл жағдайда кедергіге келіп соғылатын бөлшек х бағытында туннельденеді, бірақ бұл оған у бағытында классикалық траектория бойынша қозғалуға кедергі жасамайды. Осы есепті шешу үшін жай ғана жорамалданған уақытқа (жорамалданған қуатқа) ауысуға болмайды, Шредингердің Ψ (х, у) толқынды функцияға арналған теңдеуін бөлшектің импульсының кейбір құрамдас бөліктерінің жорамалданған бөлікке ие болуы мүмкін екендігін ескере отырып адал шешу керек [208]. Солай болса да, қисайған кеңістікте туннельдендіруге евклидтік амал кейде нәтиже береді. Мұның, жекелей алғанда, осында , болатын потенциалдың қарастырылып отырған жағдайына да қатысы бар. Осындай j = о потенциалында туннельдендіруді Хоукинг және Мосс зерделеген болатын [121]. Олар j₁ нүктесінде максимумы бар кедергі арқылы j = 0 нүктесінен туннельдендіру ықтималдығы үшін алған өрнек (33 сур.) былайша көрінеді:

P (7.4.1)

мұнда А – m⁴ өлшемділіктің әлдебір предэкспоненциалды факторы. Осы формуланы алған кезде Хоукинг пен Мосс де Ситтер дүниесінде «шаштың болмауы туралы теоремаға» (§ 7.2 қар.) орай, туннельдендіру де Ситтердің экспоненциалды кеңейетін дүниесінде де (7.2.3), тұйықталған дүниеде де (7.2.5) бірдей жүруге тиіс деп шамалады. Соңғы жағдайда гиперболоидтың мойнында, яғни t = 0, a = Н^-l кезінде туннельдендіру ең ықтимал, ал оны сипаттау үшін, [207] сәйкес, дүниенің евклидтік версиясында (7.2.5), яғни радиусы Н^-l (j)S⁴ сферада әрекетті есептеу керек. Н (j) арттырумен, яғни, классикалық тыйым салынған болып табылатын а азайтумен туннельдендіру туралы сөз болғандықтан, евклидтік амалды қолдануға қарсы жоғарыда айтылған дәлел бұл жағдайда қолданыла алмайды. S⁴ сферада әрекетті есептеу мына шамаға алып келеді:

 

(7.4.2)

 

33 сур. Хоукинг пен Мосс осындағы туннельдендіруді зерделеген V (j) потенциалы

 

Коулмен мен де Луччианың жұмысында жасалған идеологияны пайдалана отырып, Хоукинг және Мосс туннельдендірудің ықтималдығы ехр [S_E (О) - S_E (j)] пропорционал деген тұжырымдама жасады. (7.4.1) өрнекке дәл осы алып келеді де. Бұл кезде көпіршіктің қабырғасынан әрекеттің үлесі ескерілмеді, яғни сөз бірден бүкіл кеңістікте таза біртекті туннельдендіру туралы болды [121]. Бұл қорытынды кейіннен жұмыстардың тұтастай қатарында «расталған» болатын. Алайда, бүкіл экспоненциалды үлкен Ғаламда бір мезгілде туннельдендіру мүмкіндігі ақылға сыймайтындай болып көрінді. Бұл мәселені егжей-тегжейлірек зерделеу үшін кеңейген кезде туннельдендіру теориясына Гамильтон амалы дамытылды, оның көмегімен бүкіл кеңейіп келе жатқан Ғаламда толығымен біртекті туннельдендірудің ықтималдығы шынында да болмашы екендігін көрсету қолдан келді [186]. Кейіннен Хоукинг пен Мосстың өздері, түсіндіруге берілместен, олардың нәтижесін бүкіл Ғалам бойынша біртекті туннельдендірудің ықтималдығы ретінде емес, тек кейбір l [209] ауқымда біртекті болып табылатын туннельдендірудің ықтималдығы ретінде түсіндіру керектігін атап өтті [209]. Көпіршіктің қабырғалары және басқа біртексіздіктер де Ситтер дүниесінде «шаштың болмауына» орай туннельдендіруге әсер етпеуге тиіс деп шамаланды (§ 7.2 қар.).

Осындай дәлелдеудің әділдігі, қарастырылып отырған есепте жалпы евклидтік амалдың қолданышулығы да секілді, күмәндер тудырды. Тек көп уақыт кейінірек m² << Н² кезінде j өрісінің градиенттерінің евклидтік әрекетке үлесінің аз екендігі анықталды [186] (мұнда тиісті үлес j өрісінің потенциалды қуатынан үлес секілді ретке ие болып отырған және бұл туннельдендіру қарастырылып отырған жағдайда тиімді бір өлшемді болып табылатын (ол негізінен скалярлы өрістің өзгерісінің есебінен жүреді) Минковский дүниесінен айырмашылығы). Осылайша (7.4.1) формуланың ішінара негіздемесі алынды. Алайда, құбылыстың физикалық мәнісін шынайы түсінуге тек (7.3.21) диффузия теңдеуін зерделеуге негізделген туннельдендіру теориясына амал дамытылған кезде ғана қол жеткізілді [134, 135].

Негізгі идея туннельдендіру үшін j₁ асып түсетін өрісі және

r радиусы бар көпіршіктің түзілуі жеткілікті екендігінен тұрады. Одан әрі j өрісінің осы көпіршіктің ішіндегі эволюциясы одан тысқары не болып жатқандығына тәуелді болмайды, яғни өріс j> j_l кезінде V (j)абсолюттік минимумына домалай бастайды. Бар болғаны аталған типтегі облыстың түзілу ықтималдығын бағалау ғана қалады. Бірақ бұл біз алдындағы параграфта зерделеген тап сол есеп!

Шынында да, айтылып та кеткендей, Р_с (j, t) бөлінуі t сәтіне қарай l ~ H^-l ауқымда біртекті j өрісін қамтитын бастапқы d³x (7.2.3) координаталық көлемнің үлесін сипаттайды. Осылайша, кеңейген кезде туннельдендіру туралы есеп Р_с (j, О) = б (j) бастапқы шартымен (7.3.21) диффузия теңдеуін шешуге келіп тіреледі.

Бұл жерде екі ықтимал режимді ажырату керек.

1. Процестің бастапқы сатысында я дисперсиясы (7.3.12) сепкілді өседі. Егер де бұл сатыда дисперсия V (j) локальды максимумының жағдайын сипаттайтын j_l шамасына қарағанда көбірек бола бастаса, онда процесс кедергі мүлдем болмағандай жүреді [127]. Диффузия процесі бұл жағдайда j өрісі осында өрістің диффузиялық өсу жылдамдығы классикалық домалау жылдамдығынан азырақ бола бастайтын тік V (j) баурайына келіп түскенде аяқталады. Сипатты жағдайларда диффузия сатысының ұзақтығы (7.4.3), ал осылардың ішіндегі j өрісі қандай да бір берілген мәннен асып түсетін облыстардың сипатты пішіні сфералы көпіршіктің пішінінен аса алыс.

2. Егер дисперсияның өсуі кезінрде баяуласа, онда Р_с (j, t) бөлінуі біртіндеп квазистационарлық режимге шығады, сондықтан, (7.3.21) теңдеуінде немесе (7.3.22) ортағырақ теңдеуінде Рс (j, t}/at = 0 шамалай отырып, оны іздестіруге болады. Алынып отырған шешімдердің физикалық мағынасын анықтау үшін, (7.3.22) теңдеуін келесі түрде қайта жазған ыңғайлы:

 

-

 

Бұл жерде (х, t) кеңістікте әдеттегі сақталатын j (х, t) токпен аналогия бойынша, (j, t) кеңістікте j_с (j, t) ықтималдық тогы енгізілген, сондықтан (7.4.4) теңдеуі Р_с (j, t) ықтималдық тығыздығы үшін үздіксіздік теңдеуінің стандартты түріне ие. = 0 стационарлы режимі, ықтималдық тогы -∞ бастап +∞ дейін барлық j кезінде тұрақты болатын жағдайға сәйкес келеді. Әдетте, ешқандай да ақылға сыйымды бастапқы шарттар кезінде j = -∞ бастап j = +∞ дейін нөлдік емес бәсеңсімейтін j_с = const ¹1= 0 диффузиялық тогы пайда болмайды (алайда, [135] қар.). Онымен қоймай, әдетте диффузия процесінің өзі j өрісінің өзгерістерінің тек шектеулі аралықтарында (мұнда болатын жерде) ғана мүмкін болады. Осы облыстардан тысқары бірінші (диффузиялық) мүше (7.4.5) теңдеуде пайда болмайды және егер V (j) потенциалы j жұп функциясы болып табылса, онда (7.4.5) теңдеуден Р_с шамасының j тақ функциясы болуға тиіс екендігі келіп шығады, ал Р_с (j, t) >> о болғандықтан, бұл мүмкін емес. Барлық осы себептер бойынша төменде біз j_с = 0 жағдайын ғана қарастыратын боламыз (осыған байланысты сондай-ақ 10 тар. қар.).

j_с = 0 кезінде, сондай-ақ V (j) шарты орындалған кезде, (7.4.5) теңдеу өте қарапайым көрінеді:

(7.4.6)

осыдан

(7.4.7)

мұнда N - шартынан есептелінетін нормалаушы тұрақты. Бізді қызықтырып отырған жағдайда, j өрісінің дисперсиясы потенциалды шұңқырдың енінен анағұрлым азырақ болғанда, j = 0 кезінде күрт максимумға ие және сондықтан, шамалы предэкспоненциалды көбейткішке дейінгі дәлдікпен,

 

(7.4.8) сәйкес, осы нүктедегі (дәлірек айтқанда, өлшемі l осы нүктенің маңайында) өрістің j_l тең екендігінің ықтималдығы Хоукинг - Мосс (7.4.1) формуласындағы экспоненциалды мүшесімен сәйкес келеді. j = 0 бастап j =j дейін диффузияның орташа уақыты, яғни, осының ішінде бұл нүктеде туннельдендіру жүретін орташа уақыт шынында да Р_с (j_l) пропорционал болғандықтан, бұл сәйкестік кездейсоқ емес. Тиісті нәтиже броундық қозғалыс теориясында жақсы мәлім [210]; қарастырылып отырған жағдай үшін ол [134, 135] алынған болатын. Егер броундық траектория бойынша (жуықтап алғанда) тұрақты жылдамдықпен қозғалысты қарастыратын болсақ (біздің жағдайымызда Н (j)» const кезінде бұл іске асырылып та отыр), оның физикалық мағынасын түсіну бәрінен де оңай. Р_с (j) шамасы осы траекториядағы осылардағы өрістің мәні j тең нүктелелердің салыстырмалы санын көрсетеді. Бұл j = 0 нүктесінен бастап j = j_l нүктесіне дейін броундық траектория бойынша қозғалудың τ орташа уақытының (Рс (j_l))^-l пропорционал екендігін, ал демек, осы нүктеде уақыт бірлігінде τ^-1 тең болатын Р туннельдендіру ықтималдығының Р_с (j_l) пропорционал екендігін білдіреді.

Қатаң айтқанда, туннельдендіру процесі стационарлы болып табылмайды, бірақ квазистационарлық режимді орнату уақыты туннельдендіру уақытынан көп азырақ болса, онда (7.4.8) өрнегі Р_с (j) бөлінуді жақсы сипаттайды. Аталған шарт

(7.4.9) болғанда орындалады.

(7.4.9) теңсіздігінің шартына эквивалентті екендігіне көз жеткізу қиын емес. Қарастырылып отырған жағдайда j > j_l өрісінің бұлардың өлшемдері барлық бағыттар бойынша H^-l (j_l) асып түсетін сфералы емес облыстарының түзілуінің ықтималдығы j өрісінің сфералы көпіршіктерінің түзілуімен салыстырғанда қатты басып тасталған.

Нақты мысал ретінде V (7.4.10) тиімді потенциалмен теорияны қарастырамыз.

Осы теория үшін j_l = және V (j_l) - v (О) << V (0) кезінде Р (7.4.1) шамасы P (7.4.11) тең, ал (7.4.9) теңсіздік, m² << Н², шартымен бірге (7.4.12) түрінде жазылады.

(7.3.22) теңдеудің шешімін егжей-тегжейлірек зерделеу туннельдендірудің орташа ұзақтығы үшін болған жағдайда да, болған жағдайда да әділ болатын формулалар алуға мүмкіндік береді [135].

Біз үшін бұл жерде осыларды егжей-тегжейлірек талқылау [186] жұмыста бар, кеңейген кездегі фазалық ауысулардың жалпы ерекшелігін түсіндіру маңызды болды. Осындай фазалық ауысулардың ең күтпеген ерекшеліктерінің бірі қуаттың тығыздығының артуымен, бір жергілікті V (j) минимумнан екінші біреуіне диффузиялану мүмкіндігі болып табылады [211]. Осы әсерді және оған туыстас құбылыстарды ескеру Ғаламның жаһандық құрылымын түсіну үшін аса маңызды. Біз бұл сұраққа 10 тарауда қайтып ораламыз.

Осылайша, стохастикалық амалдың көмегімен (7.4.1) Хоукинг – Мосс формуласын негіздеп беру [121] және осы формуланың олардың [209] жұмысында ұсынылған интерпретациясын растау қолдан келіп отыр. Екінші жағынан, дәл осы амалдың көмегімен, (7.4.1) формуласының қолданылушылығының шекараларын түсіну қолдан келуде. Осы нәтиженің [121] ұсынылған «қорытындысынан» V (j) потенциалының түріне ешқандай шектеулер келіп шықпады және туннельдендірудің оның келесі минимумына тура емес, ең жақын V (j) максимумына жүруге тиіс екендігі түсінікті болмады. Дамыған амалдың аясында соңғы сұраққа жауап айқын, ал (7.4.1) формуланың өзін, тек егер j өзгерісінің 0 бастап j₁ дейін бүкіл аралығында V (j) қисықтығы Н² қарағанда көп азырақ болса негіздеп беру қолдан келеді.

Кеңейіп келе жатқан Ғаламда туннельдендіру теориясын зерделей отырып, тағы бір маңызды бақылау жаңа фазаның көпіршіктерінің қабырғаларының қасиеттеріне қатысты. Минковский дүниесінде вакуумнан пайда болған жаңа фазаның көпіршігінің толық қуаты дәлдігінде нөлге тең. Көпіршіктің өлшемдері артқан кезде оның көлеміне пропорционал және жаңа фазаға ауысу кезінде қуатта ұтыспен байланысты теріс қуат өседі. Тап сол кезде (және дәл сондай жылдамдықпен) көпіршіктің қабырғасының пропорционал оң қуаты өседі, мұнда σ – көпіршіктің беттік қуатының тығыздығы. Бұл екі қосынды r өсуімен беттің қуаттың да r пропорционал артатындығынан ғана, жиынтығында нөл береді. Бұл қабырғаның жылдамдығының жарық жылдамдығына ұмтылатындығына, ал оның қабырғасы азаятындығына орай болады.

Сондықтан, тіптен егер жіңішке қабырғалардың жақындауы көпіршіктің пайда болу процесін сипаттау үшін қолданылмайтын болған күннің өзінде, ол көпіршіктің одан әрі эволюциясын сипаттау үшін қолданылатын болып шығуы мүмкін [212, 213].

Формалды жағынан бұл j өрісінің вакуумнан пайда болған көпіршегінің (7.4.13) түріндегі әлдебір функциямен сипатталатындығымен байланысты, [180] қар.

Егер t = 0 кезінде оның сипатты бастапқы өлшемі r_о тең болған болса, онда үлкен t өрісі кезінде көпіршіктің шекарасынан, яғни орыннан (7.4.14) қашықтықта j (о) мәндеріне жететін болады, мұнда j (r² - t²) =.

Осылайша, қабырғаның қалыңдығы уақыт өте келе жылдам кішірейеді.

Кеңейіп келе жатқан Ғаламда барлығы да мүлдем өзгеше. j өрісінің көпіршіктегі толық қуаты нөлге тең және Ғалам кеңейген кезде сақталмайды. Бұл кеңейген кезде скалярлы өрістің толық қуатының экспоненциалды өсуі осының есебінен іске асырылатын гравитациялық күштердің дәл сол жұмысының есебінен болады. Туннельдендіру толқындарының ұзындығы l ұйытқуларының пайда болуының және бір біріне қабаттасуының нәтижесінде жүреді. Δt ~ H^-l уақыт арқылы осы ұйытқулардың барлық градиенттері экспоненциалды шағын бола бастайды.

Тап сондықтан шекаралық мүшелердің евклидтік әрекетке үлесін ескермейтін Хоукинг-Мосс формуласы, ақыр соңында дұрыс формула болып шықты.V кезінде j өрістерінің ұзын толқынды флуктуацияларымен байланысты градиенттік мүшелердің қуат-импульстың тензорына шамамен О (Н⁴) < (j) үлес беретіндігін атап өткен маңызды. Сондықтан жоғарыда сипатталған механизмнің есебінен пайда болған көпіршіктерді зерттеген кезде, жіңішке қабырғалардың жақындауының олардың эволюциясының ешбір сатысында жиі-жиі қолданылмайтын болады. Алайда, егер пайда болған облыстарда әртүрлі фазалық күйлердегі зат болса, онда осы облыстардың арасында пайда болатын домендік қабырғалар кеңеюдың кеш сатыларында немесе ол аяқталғаннан кейін шынында да жіңішке болып шығуы мүмкін. Ғаламның осындай облыстарға жақын жердегі құрылымын зерттеу үшін, [212, 213] жұмыстарда дамытылған қуатты әдістерді қолдануға болады.