Задача 1. Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар? Решение. Пусть товар стоил 1000руб., после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000 руб. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 руб. Ответ. 990 руб. Задача 2. Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания? Решение. Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е. 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е. 1кг это 0,02 подсушенных грибов, 1 кг: 0,02=50 кг. Ответ. 50 кг. Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%.Сколько стал стоить билет после снижения? Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А чел. и выручка составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1,8*р, зрителей стало 1,5А, выручка составляет 1,8*р*1,5*А руб. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25*1,8А. Получаем 1,8*р*1,5*А=1,25*1,8А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит 1,8*12,5/15=1,5 руб. Ответ. 1руб. 50 коп Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему? Решение. Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав. Ответ. Второй турист идет быстрее. Задача 5. Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Будет ли стоить он дешевле, если цену сразу снизить на 20%? Решение. Если товар стоил А руб., после двух понижений он стал стоить 0,9*0,9*А=0,81*А. А цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8*А. Так как 0,8*А < 0,81*А, значит товар стоил бы дешевле. Ответ. Да. Задача 6. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине? Решение. Пусть молоко продает магазин по А руб., тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8*А=25, откуда А=31, 25 руб. Ответ. 31 руб. 25 коп. Задача 7. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30% остатка, а третий - 40% нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным? Решение. Пусть полотна было р. Первый купил 0,25р., осталось (1-0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р –0,225р=0,525р, третий купил 0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р-0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р. Ответ. 31,5% Задача 8. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга Решение. 6 га составляют 75% или 0,75=3/4 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е.6: 0,75=8 (га) 8+2=10 (га) - это половина луга, весь луг 20 га Ответ. 20 га Задача 9. Как изменится в процентах площадь прямоугольника, если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%? Решение. АВ - площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ – площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного. Ответ. Уменьшится на 9% Задача 10. В драматическом кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков? Решение. Девочек - А чел, мальчиков - 0,8*А, девочки составляют от мальчиков А/(0,8А)= 1,25, т.е. 125 % от числа мальчиков Ответ. 125% Задача 11. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна Решение. Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в единицу времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150% Ответ. 150%
Задачи на проценты в вариантах ГИА по математике
Задачи на проценты в вариантах государственной итоговой аттестации по математике за курс 9 класса представлены как в первой части (с выбором ответа), так и во второй части (представить полное решение задачи).
Часть 1 Задача 1. Некоторый товар поступил в продажу по цене 600р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остаётся неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 10% от текущей цены. По какой цене будет продаваться товар в течение третьей недели? 1) 420 р. 2) 486р. 3) 480 р. 4) 120 р. Задача 2. Туристическая фирма организует трехдневные автобусные экскурсии. Стоимость экскурсии для одного человека составляет 3500 р. Группам от 3 до 10 человек предоставляется скидка в 5%, более 10 человек – 10%. Сколько заплатит за экскурсию группа из 12 человек? 1)42000 р. 2)37800 р. 3)4200 р. 4)39900 р.
Часть 2
Задача 1. Имеются два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 30%, а во втором – 55% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота. Решение. Пусть х – масса первого сплава, у – масса второго сплава. Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0,3х, а во втором сплаве 0,55у. Масса нового сплава равна х+у, а количество золота в нем составляет 0,4 (х+у). Получим уравнение 0,3х+0,55у = 0,4 (х+у). Преобразуем уравнение, получим: 30х+55у = 40х+40у, или 6х+11у = 8х+8у, 3у = 2х. отсюда, х: у = 3: 2. Ответ: в отношении 3: 2. Задача 2. Стоимость путёвки в пансионат складывается из стоимости питания. В связи с тем, что питание в пансионате подорожало на 50%, а проживание – на 25%, стоимость путёвки увеличилась на 40%. За что платили больше до подорожания – за питание или проживание, и во сколько раз? Решение. Пусть до подорожания стоимость питания в пансионате составляла х р., а проживания – у р., тогда стоимость путевки до подорожания составляла х + у р.. Новая стоимость питания составляет 1,5 х р., проживания – 1,25 у р., а новая стоимость путевки 1,5х + 1,25 у р. Так как в целом путевка подорожала на 40%, то ее новая стоимость оставила 1,4 (х + у) р.. Имеем 1,5х + 1,25 у = 1,4 (х + у). Отсюда 0,1х = 0,15 у или х=1,5у. Ответ: первоначальная стоимость питания в 1,5 раза больше, чем проживания. Задача 3. На пост губернатора области претендовало три кандидата: Гаврилов,Дмитриев, Егоров.Во время выборов за Дмитриева было отдано в 2 раза меньше голосов, чем за Гаврилова, а за Егорова – в 4 раза больше, чем зав Гаврилова и Дмитриева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя? Решение. Пусть за Дмитриева проголосовало х человек, тогда за Гаврилова 2х человек, а за Егорова – 12х человек; всего приняло участие в голосовании 15х человек. Найдем отношение числа избирателей, проголосовавших за Егорова, к общему числу избирателей и выразим его в процентах: (12х)/(15х) = 0,8 – это 80%. Ответ: 80%.
Задачи на проценты в вариантах ЕГЭ по математике.
В вариантах единого государственного экзамена по математике в 11 классе 2002-2009 г.г. в части В встречаются задачи на тему «Проценты».
Задача 1. При выпаривании из 15 кг рассола получили 2 кг пищевой соли, содержащей 25% воды. Каким был процент содержания соли в рассоле? (ответ: 10%) Задача 2. Цена на товары было понижена на 20%. На сколько процентов её нужно повысить, чтобы получить исходную цену? (ответ: на 25%) Задача 3. Смешали 2 литра 15 % раствора кислоты, 4 литра 10% и 5 литров 12% раствора кислоты. Найти концентрацию полученного раствора? (ответ:11,8 %) Задача 4. На хрустальную люстру подняли цену на 45%, а затем еще 20%. На сколько процентов увеличилась цена люстры после двух повышений? (ответ: на 74%) Задача 5. Цену товара повысили на 50%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена товара?1) не изменится, 3)возрастет на треть2)снизится на четверть 4)снизится на треть Задача 6. Подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Масса конфет первого, второго и третьего сортов в этом наборе относятся как 1: 2: 8. Массу конфет первого сорта увеличила на 20%, а второго – на 6%. На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась? (ответ: на 4%). Задача 7. Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, второй 40% цинка. Новый сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цинка. Определите массу нового сплава. (Ответ: 9кг.)
