Содержание
Введение ……………………………………………………….………...…….…3
1. Определение процента. Основные типы задач по теме «Проценты»……....5
2. Задачи на процентное содержание, концентрацию и процентный раствор..8
3. Задачи с использованием понятия коэффициента увеличения…………….12
4.Текстовые задачи на проценты ……………….…. ………………………….13
5. Задачи на проценты в вариантах ГИА…………………………………….....16
6. Задачи на проценты в вариантах ЕГЭ………………………………………..18
7. Задачи для самостоятельного решения ……………………………………..19
Заключение …………………………………………….………………….……..20
Список использованной литературы ……………………………………….....21
Введение.
Цель работы:
изучить различные типы задач по теме «Проценты»
Задачи:
1) Изучить исторический и теоретический материал по теме «Проценты»
2) Систематизировать задачи на проценты по типам.
3) Выявить практическое применение задач на проценты
4) Познакомиться с задачами на проценты в вариантах ГИА и ЕГЭ по математике.
Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. В настоящее время процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике «Математика, 5» авторов Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.
.
1. Определение процента. Основные типы задач по теме «Проценты».
Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра. Определение. Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%. Определение одного процента можно записать равенством: 1 % от а = 0,01 * а 5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д. Как найти 1% от числа? Так как 1% - это одна сотая часть, значит надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д. Пример 1. Найти: 25% от 120. Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30. Ответ: 30. Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь Пример 2. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря? Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%. Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. Пример 3. Приплановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план? Решение: (66/60) - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах: (66/60) *100% = 110% Ответ: 110% Пример 4. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди? Решение: 1) 6+ 34 =40 (кг) масса всего сплава.2) 34: 40 * 100% = 85% сплава составляет медь. Ответ: 85%. Пример 5. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%? Решение: Пусть цена товара х руб., тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х;, а после понижения на 25%, его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х - 0,9375х = 0,0625х; (0,0625х)/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара понизится на 6,25%. Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (А/В)*100%. Пример 6. 1. На сколько процентов 10 больше 6? 2. На сколько процентов 6 меньше 10?
Решение:
1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6).100%)/10 = 40% Ответ: 66 2/3 %, 40 %. Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь. Пример 7. Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15; или х - данное число; 0,15.х = 30; х = 200.
2) 30: 0,15 = 200.
Ответ: 200. Пример 8. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна? Решение. Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби). 480: 0,24= 2000 (кг); 2000кг = 2 т Ответ: 2 т Пример 9. Сколько килограммов белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов? Решение. 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг: 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг: 0,5=20 кг Ответ: 20 кг Пример 10. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих? Решение:
1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) грибов по массе в свежих грибах; (0,1 - это 10% сухого вещества)
2) 2,2: 0,88 = 2,5 (кг) сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).
Ответ: 2,5 кг.
Задачи на процентное содержание, концентрацию и процентный раствор.
Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, а иногда даже газообразные или твердые вещества, разбавлять что-либо водой или наблюдать за испарением воды, то есть усыхание. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты. Задача 1. Сколько килограммов соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%. Решение. 10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли. Ответ: 1,5 кг. Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют процентным раствором, например, 15%-й раствор соли. Задача 2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. 1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%. Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения. Задача 3. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г. Решение. 300 . 0,87 = 261 (г). В этом примере концентрация вещества выражена в процентах. Отношение объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты. Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: К = р/100% К - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в процентах). Задача 4. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько килограммов второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра? Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение: 8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х); х = 13 1/3. Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра. Задача 5.. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили? Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержится 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли. Составим уравнение. 1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10. Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора Задача 6. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь? Решение. 0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5% Ответ. 25,5% Задача 7. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты? Решение: арифметический (старинный) способ решения
Нарисуем схему
50 5
65:
70 15
Для получения 65%-й кислоты нужно взять 50% и 70%-й кислоты в отношении 5:15 = 1:3Задача 8. Смешали 30% раствор соляной кислоты (HCl) с 10% раствором. Получили 600г 15% раствора. Сколько грамм каждого раствора было? Решение: Первый вопрос на который надо найти ответ: из каких частей состоит целое? В данной задаче целое – это раствор. Раствор состоит из воды и кислоты. Таким образом, можно заполнить таблицу:
| Целое | Наименование целого | Первый раствор | Второй раствор | Третий раствор | |||
| Количество целого | Х | У | 600 г | ||||
| Части | Наименование частей | H2O | HCl | H2O | HCl | H2O | HCl |
| % в целом | 70% | 30% | 90% | 10% | 85% | 15% | |
| Количество | 0.7x | 0.3x | 0.9y | 0.1y | (85/100)*600 =520 | (15/100)*600 =90 |
Составляем систему уравнений. Первое уравнение можно составить по количеству целого: х + у = 600.
Второе уравнение можно составить по кислоте или воде. Мы выбрали кислоту: 0,3х+0,1у=90
Из первого уравнения можно выразить Х: х=600-у. Обозначим это выражение (1). Данное выражение подставим во второе уравнение вместо Х: 0,3(600-у)+0,1у =90. Решаем данное уравнение:
180-0,3у+0,1у=90
-0,2у=90-180
-0,2у=-90
У= -90/(-0,2)
У=450, значит второго раствора нужно взять 450 г.. Найдем, сколько граммов первого раствора взяли, для этого данное значение У подставим в выражение (1): х = 600-450= 150 (г). Ответ:450г и 150г.
Задач с использованием понятия коэффициента увеличения.
Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить число на коэффициент увеличения к=(1+0,01р). Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р). Пример 1. Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых? Решение. Если а (рублей) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25а, а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25* 1,25а=13125, находим а=8400. Ответ: 8400 руб.
Правило 5. Чтобы найти, на сколько % положительное число у отличается от положительного числа а, следует вычислить, сколько % у составляет от а, а затем от полученного числа отнять а.
Пример 2. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась по сравнению с январской? Решение. Если х – январская цена нефти, то февральская цена нефти равна (1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75 1,12х=0,84х, мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 –100=84-100= -16(%), т.е. цена упала на 16%. Ответ: цена упала на 16%.
