Пример 5. (о переливании крови).

Установлено, что 33% людей имеют первую группу крови , 30% - вторую , 27% - третью и 10% - четвертую . Кровь первой группы можно переливать любому пациенту, кровь второй - пациенту, имеющему вторую или четвертую, кровь третей - пациенту, имеющему третью или четвертую, кровь четвертой - пациенту, имеющему только ту же группу. С какой вероятностью произвольно выбранному пациенту можно переливать кровь произвольно выбранного донора?

Решение. Пусть . Рассмотрим четыре гипотезы:

, , , .

Вероятности гипотез равны

, , , .

Найдем условные вероятности:

пациенту первой группы можно переливать только кровь своей группы,

- пациенту с можно переливать и ,

- пациенту с можно переливать и ,

- пациенту, имеющему , подойдет любая группа крови. Итого .

Пример 6. Из группы в 20 студентов, пришедшей на экзамен, 6 человек отлично подготовились (знают все 40 вопросов), 8 - неплохо подготовились (выучили по 32 вопроса), 4 человека готовы лишь наполовину (по 20 вопросов), а двое успели повторить только по 10 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти апостериорные вероятности того, что спрошенный (и получивший отлично) студент был подготовлен а) отлично, б) хорошо, в) посредственно, г) плохо.

Решение. Рассмотрим гипотезы:

,

,

,

.

По условию задачи их вероятности есть:

, , , .

Найдем условные вероятности события :

, , ,

.Тогда .

Найдем апостериорные вероятности.

, ,

, .

То есть с вероятностью 0,572+0,383=0,955 студент получил пятерку заслуженно, а шансы шестерых бездельников на успешную сдачу экзамена минимальны. (Комментарий преподавателя.)

Независимые события

При изучении случайных явлений часто интересуются, как влияет наступление одного события, связанного с данным явлением, на наступление другого события. Если предположить, что наступление события никак не влияет на наступление или ненаступление события можно ожидать, что будет наблюдаться примерное равенство относительных частот: . Поскольку частота , а , получаем следующее определение.

Определение 1. Если , то событие не зависит от события , если .

По определению , откуда получаем, что независимость события от события эквивалентна равенству . Следовательно, если , то независимость события от события влечет независимость от , поскольку тогда .

В случае или равенство выполнено автоматически, поскольку в любом из этих случаев .

Определение 2. События и называются независимыми, если

.

Если равенство не выполняется, то события и называются зависимыми.

Пример 7. Из колоды в 52 карты выбирается одна карта. Рассмотрим события и . Тогда .

Решение. Так как в этом случае , , а , то события и независимы. Однако, если в колоде карт присутствует еще и джокер, то события и станут уже зависимыми. Действительно, в этом случае , , а . То есть .

Пример 8. Известно, что события и - независимые. Докажите, что события и также независимы.

Решение. По условию . А так как , то .

Итак, , т. е. события и независимы.

Определение. События называются независимыми, если для любых имеет место равенство

.

Замечание. Для нахождения вероятности суммы независимых (но совместных!) событий выгодно переходить к противоположным событиям:

Замечание. Независимость нескольких событий в совокупности более сильное свойство, чем их попарная независимость.

Убедимся в этом с помощью следующего примера.

Пример 9. В урне находится шара: красный, синий, черный и трехцветный (красно-сине-черный). Из урны извлекается один шар. Исследовать на независимость следующие события:

;

;

.

Решение. Очевидно, что . Событиям , и благоприятствует лишь один исход – это шар (шар имеет все три цвета). Значит, .

Аналогично, , . Следовательно, пары событий и , и , и - независимы. Однако, события , и не являются независимыми в совокупности. Действительно, , , то есть эти события не являются независимыми в совокупности, поскольку .

На практике независимость или зависимость событий определяется на основе здравого смысла и постулируется в математической модели.

Пример 10. Пусть участок технологической цепочки состоит из последовательно соединенных элементов (см. рис.). Известна надежность каждого

элемента , то есть вероятность безотказной работы в течение некоторого промежутка времени . Считая, что выходы из строя отдельных элементов являются независимыми событиями, найти надежность всего участка, то есть вероятность безотказной работы схемы в течение промежутка времени .

Рассмотрим события . Тогда по условиям задачи , . А событие будет происходить, если исправны все элементы цепи, то есть . Так как события , , независимы, то .

Пример 11. Рассмотрим ту же задачу, но для параллельного соединения элементов (см. рис.). Требуется найти надежность такого соединения.

Решение. Параллельное соединение выходит из строя (событие ), если выходят из строя все ветви цепи, то есть происходят все события , . Тогда . Так как все , , независимы, то и все , , независимы, то есть . Учитывая, что , , получим . Откуда окончательно имеем: .

Используя эти два базисных примера, можно рассчитать надежность любой схемы.

Пример 12. Рассчитать надежность соединения, изображенного на рисунке.

Ответ. .