Занятие 3.Условные вероятности и независимые события.
Условные вероятности.
Пусть произведено испытаний (экспериментов, наблюдений), пусть событие
произошло
раз, событие
произошло
раз, а оба события произошли в
случаях. Наряду с
- относительной частотой наступления события
вычислим
- относительную условную частоту наступления события
, при условии, что произошло событие
. Поскольку относительная частота
колеблется вокруг вероятности события
, получаем, что и
.
Определение. Условная вероятность события
при условии, что событие
произошло, определяется формулой
, где
.
Зафиксируем событие и наряду с
рассмотрим
- условное вероятностное пространство. Здесь множество элементарных исходов сужено до
, система подмножеств
является алгеброй, и
по определению положим
.
Условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам и свойствам (безусловной) вероятности.
1. .
2. .
3. Если - объединение попарно несовместных событий из
, то
.
Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило: .
Обобщая этот результат для вероятности произведения любого числа событий, получим: .
Пример 1. В урне белых и
зеленых шаров. Опыт состоит в извлечении одного за другим двух шаров, причем: а) шары возвращаются; б) шары не возвращаются. Найдите вероятность извлечения двух зеленых шаров.
Решение.
а) ;
б) .
Пример 2. Подбрасываются три игральные кости. Наблюдаемые события: ,
. Найти
и
.
Решение. По определению ,
.
Вычислим эти вероятности. Всего в опыте возможно исходов. Вычислим
:
,
.
Рассмотрим .
Тогда ,
,
.
Рассмотрим .
,
,
.
Окончательно ,
.
Формулы полной вероятности и Байеса
Определение. Совокупностьсобытий называется полной группой событий, если
,
,
. Сами события
при этом называются гипотезами.
Теорема (формула полной вероятности).
Если - полная группа событий, то для любого события
имеет место формула
.
Доказательство. В условиях теоремы всякое событие
можно разбить в сумму попарно несовместных событий
:
(см. рис.). Следовательно,
. Каждое слагаемое можно расписать по формуле умножения
.
Пример 3. В урне №1 имеется 6 белых и 2 черных шара, а в урне №2 - 4 белых и 4 черных. Из урны №1 в урну №2 наугад перекладывается один шар, после чего из урны №2 наугад выбирается шар. Какова вероятность, что будет выбран белый шар?
Решение. Пусть событие . Рассмотрим гипотезы:
,
.
Тогда , а
. Вычислим условные вероятности:
, так как в урне номер два при гипотезе
стало 5 белых шаров из 9,
, так как при гипотезе
число белых осталось равно 4 из 9.
Следовательно .
Теорема (формула Байеса).
Пусть гипотезы ,
, образуют полную группу событий и
. Тогда имеет место формула:
.
Доказательство. По формуле умножения вероятностей
, откуда после деления на вероятность
и получается формула Байеса.
Вероятности называются апостериорными (вычисленными после опыта) вероятностями гипотез
, в отличие от вероятностей
, называемых априорными (известными до проведения опыта). То есть результат опыта (осуществление или неосуществление события
) позволяет уточнить вероятности гипотез.
Пример 4. Группа состоит из отличников,
хорошистов и
слабых учеников. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки, хорошисты с равной вероятностью "хорошо", "отлично" или "удовлетворительно", а остальные с равными вероятностями "удовлетворительно" и "неудовлетворительно". Для сдачи экзамена наугад вызывается один ученик. С какой вероятностью он получит "хорошо" или "отлично" (событие
)?
Решение. Рассмотрим три гипотезы: ,
,
.
Тогда ,
,
.
Найдем условные вероятности: ,
,
. Тогда
.