Интегрирование способом подстановки

Если заданный интеграл простейшим преобразованием трудно привести (или нельзя привести) к табличному интегралу, то для его отыскания применяют особые приемы. Один из них – интегрирование способом подстановки. Еще этот метод называют способом замены переменной.

Прежде чем перейти к рассмотрению способа подстановки, вспомним понятие дифференциала функции.

Определение. Если функция y(x) в точке имеет производную , то произведение является дифференциалом функции у(х) в точке и обозначается dy(. Таким образом dy( dx.

dy =

 

Интегрирование способом подстановки заключается в том, что выражение заменяется новой переменной.

Например в интеграле необходимо произвести замену переменной. Обозначим . Найдем дифференциал обеих частей равенства: d(

Дифференциал данного в интеграле переменного значения необходимо выразить через дифференциал введенной нами переменной.

Имеем: (таким образом вторую часть подынтегрального выражения выразили через dt).

Замену подставляем в интеграл, и под знаком интеграла получаем выражение, зависящее только от введенной новой переменной t. Если замена проведена правильно, то полученный интеграл должен быть табличным. Таким образом, получаем: - ответ выражен через вспомогательную переменную t.

Чтобы получить окончательный ответ, сделаем обратную замену :

=

Подстановка должна выбираться так: если одна часть подынтегрального выражения обозначается за t, то другая должна соответствовать dt с каким-нибудь коэффициентом. В нашем примере

t dt

Подстановки приводящие к

 

 

Пример 1: . Произведем замену переменной: 2+x=t, dx=dt.

Пример 2. . Произведем замену:

.

Пример 3. . Произведем замену:

Тогда интеграл примет вид:

Пример 4. Произведем замену:

Пример 5. . Произведем замену:

= -3

Пример 6. Произведем замену: sinx=t; cosxdx=dt

Пример 7. . Произведем замену: lnx=t;

+C.

Задание №11.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		1)
2.		1) 4)-
3.		1)
4.		1)
5.		1)
6.		1)
7.		1)
8.		1)

+C

Подстановки приводящие к

 

 

Для того чтобы интеграл приводился к виду , он должен состоять из дроби, числитель которой равен дифференциалу знаменателя с некоторым коэффициентом. Выражение, стоящее в знаменателе, должно быть в первой степени, в противном случае интеграл соответствует . Подстановка делается так, что весь ной.

Пример 1. . Произведем замену:

.

=

Пример 2. . Произведем замену: 1+3cosx=t; -3sinxdx=dt; sinxdx= dt. Тогда интеграл будет иметь вид: =- =- ln +C=

ln +C.

Пример 3. . Произведем замену:

=

Задание №12.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.
2.		1)
3.		1)- +c; 3) – +C.
4.		1)
5.		1)

 

Подстановки приводящие к

 

 

Для того чтобы интеграл приводился к виду , он должен содержать показательную функцию с показателем вида f(x). Этот показатель и заменяется новой переменной.

Пример 1. Произведем замену:

=

Пример 2. Произведем замену: sinx=t; cosxdx=dt.

Пример 3. Произведем замену:

.

Задание №13.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		1) 3) .
2.		1)

 

 

Подстановки приводящие к

 

 

К приводятся интегралы, содержащие sinf(x) или cosf(x), где f(x) заменяется через новое переменное.

Пример 1. . Произведем замену:

Пример 2. По известной Вам формуле: .

.

Во втором интеграле произведем замену: 2x=t; 2dx=dt; dx= .

Пример 3. .

Произведем замену в первом интеграле: 3x=t; 3dx=dt; dx=

Произведем замену во втором интеграле: 2x=t; 2dx=dt; dx=

Следовательно:

 

Задание №14.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		1)-cos4x+C; 2)
2.		1)
3.		1) .

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. ; 2. ; 3. ;

4. 5. 6.

 

Подстановки приводящие к

 

К приводятся интегралы, содержащие в знаменателе , поэтому f(x) заменяется через вспомогательное переменное.

 

Пример 1. . Произведем замену: 3x=t; 3dx=dt .

Пример 2. . Произведем замену: 1-2x=t; -2dx=dt;

Пример 3. . Произведем замену: lnx=t;

 

Пример 4. . Произведем замену:

= -ctgt+C=-ctg

 

Задание №15.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		1) tg2x+C; 2)
2.		1) tg tg
3.		1)

Подстановки приводящие к

 

 

К приводятся интегралы, содержащие в знаменателе корень их разности постоянной величины и квадрата х с некоторым коэффициентом или сумму постоянной величины и квадрата х с коэффициентом.

 

Пример 1. . Произведем замену:

Пример 2. Произведем замену: =

dt.

Пример 3. .Произведем замену:

= =

=

 

Задание №16.

№	ЗАДАНИЕ	ВАРИАНТЫ ОТВЕТА
1.		1)arctg3x+C; 2) +C; 3)
2.		1)
3.		1)

 

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.

4. ; 6. .

 

 

ТЕМА №3

Интегрирование по частям

Пусть U=U(x) и V=V(x) – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала d(U·V)=VdU+UdV UdV=d(U·V)-VdU.

Интегрируем обе части равенства:

Используя свойства неопределенного интеграла, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла:

 

 

При её применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя U и dV. При переходе к правой части формулы первый из сомножителей дифференцируется (при нахождении дифференциала dU=U´dx), второй интегрируется (V=

Возможности применения формулы интегрирования по частям связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).

Пример 1.

Так как x´=1, а при интегрировании практически не изменяется (появляется лишь постоянный множитель , то данный интеграл можно найти интегрированием по частям.

Пусть U=x; dV= , тогда dU=dx; k=-2; b=0 =-

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Замечание: Анализ полученного решения показывает, что постоянная С, возникшая при нахождении V (по заданному dV), не входит в запись окончательного ответа. Аналогично, в общем случае постоянная С, возникшая при нахождении V, исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя V, будем полагать С=0, что несколько упрощает запись решения.

Пример 2. .

Пусть U=x; dV=

Тогда dU=dx; V=

Пример 3. dx.

Пусть U=2+3x; dV=

Тогда dU=d(2+3x)=(2+3x)´dx=3dx; V= .

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

=

Пример 4.

U dV

Пусть arctgx=U; dx=dV

Тогда dU=(arctgx)´dx=

Получаем согласно формулы интегрирования по частям:

=

=

Указание. Все интегралы, которые находят с использованием формулы интегрирования по частям, можно разбить на три группы.

I группа:

, где P(x) –многочлен.

В данной группе полагаем U=lnx; U=arcsinx; U=arccosx; U=artgx; U=arcctgx, а оставшееся выражение за dV=P(x)dx.

II группа: , где Р(х)- многочлен, k и b-числа.

В данной группе полагаем U=P(x), а оставшееся выражение за dV.

III группа: .

Эта группа сложных интегралов. Они находятся при помощи двукратного интегрирования.

 

Пример 5.

Пусть U=lnx; dV=xdx.

Тогда dU=d(lnx)= ; V= .

 

Пример 6. .

Пусть U=lnx; dV= .

Тогда dU=d(lnx)= .

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

.